Mathe als Sprache: Das Gleichheitszeichen verstehen

Mai 15, 2021admin

Man vergisst leicht, dass Mathematik eine Sprache ist, um Ideen zu kommunizieren. In Worten ausgedrückt, ist „zwei und drei ist gleich fünf“ schwerfällig. Das Ersetzen von Zahlen und Operationen durch Symbole hilft: „2 + 3 ist gleich 5“.

Aber wir können es besser machen. Robert Recorde erfand 1557 das Gleichheitszeichen, das mit zwei parallelen Strichen geschrieben wird (=), weil „noe 2 thynges, can be moare equalle“.

„2 + 3 = 5“ ist viel einfacher zu lesen. Leider ändert sich die Bedeutung von „gleich“ je nach Kontext – fragen Sie nur Programmierer, die zwischen =, == und === unterscheiden müssen.

Ein „gleich“ B ist eine allgemeine Schlussfolgerung: welche spezifische Beziehung wollen wir vermitteln?

Vereinfachung

Ich sehe „2 + 3 = 5“ als „2 + 3 kann zu 5 vereinfacht werden“. Das Gleichheitszeichen überführt eine komplexe Form auf der linken Seite in eine äquivalente, einfachere Form auf der rechten Seite.

Vorläufige Zuordnung

Aussagen wie „Geschwindigkeit = 50“ bedeuten „die Geschwindigkeit ist 50, für dieses Szenario“. Sie ist nur für das aktuelle Problem gut, und es gibt keine Notwendigkeit, sich diese „Tatsache“ zu merken.

Grundlegender Zusammenhang

Betrachten Sie eine mathematische Wahrheit wie $a^2 + b^2 = c^2$, wobei a, b und c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind.

Ich lese dieses Gleichheitszeichen als „muss immer gleich sein“ oder „kann als“ gesehen werden, weil es eine dauerhafte Beziehung angibt, nicht einen Zufall. Die Arithmetik von $3^2 + 4^2 = 5^2$ ist eine Vereinfachung; die Geometrie von $a^2 + b^2 = c^2$ ist eine tiefe mathematische Wahrheit.

Die Formel, um 1 zu n zu addieren, lautet:

$\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$

Das kann man als eine Art geometrische Umordnung, Kombinatorik, Mittelwertbildung oder auch Listenbildung ansehen.

Faktische Definition

Aussagen wie

$\displaystyle{e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{100\%}{n} \right)^n}$

Sind Definitionen unserer Wahl; die linke Seite ist eine Abkürzung für die rechte Seite. Es ist ähnlich wie die temporäre Zuweisung, aber reserviert für „Fakten“, die sich zwischen den Szenarien nicht ändern (e hat immer den gleichen Wert in jeder Gleichung, aber die „Geschwindigkeit“ kann sich ändern).

Einschränkungen

Hier ist eine knifflige. Wir könnten

x + y = 5

x – y = 3

schreiben, was Bedingungen angibt, die wahr sein sollen. Ich lese das als „x + y sollte möglichst 5 sein“ und „x – y sollte möglichst 3 sein“. Wenn wir die Bedingungen erfüllen (x=4, y=1), großartig!

Wenn wir beide Ziele nicht erfüllen können (x + y = 5; 2x + 2y = 9), dann könnten die Gleichungen einzeln wahr sein, aber nicht zusammen.

Beispiel: Entmystifizierung der Eulerschen Formel

Die Entschlüsselung des Gleichheitszeichens hat mir geholfen, die Eulersche Formel zu entschlüsseln:

$\displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}$

Ein seltsames Biest, in der Tat. Um welche Art von „gleich“ handelt es sich?

Ein Pedant könnte sagen, dass es sich nur um eine Vereinfachung handelt, und den Kalulus hervorholen, um das zu zeigen. Das ist nicht erhellend: Es gibt eine grundlegende Beziehung zu entdecken.

e^i*pi verweist auf dasselbe Ziel wie -1. Zwei Finger, die auf denselben Mond zeigen.

Sie sind beide Möglichkeiten, „die andere Seite des Einheitskreises, 180 Grad entfernt“ zu beschreiben. -1 geht dorthin, indem er geradewegs durch das Gras stapft, während e^i*pi die landschaftlich reizvolle Route nimmt und sich durch die imaginäre Dimension dreht. Das funktioniert für jeden Punkt auf dem Kreis: Drehen Sie dort, oder bewegen Sie sich in geraden Linien.

Eulersche Formel's formula

Zwei Wege mit demselben Ziel: Das bedeutet ihre Gleichheit. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection („simplifies to“, „has been chosen to be“, „refers to the same concept as“).

Happy math.

Mathe als Sprache: Das Gleichheitszeichen verstehen

Beispiel: Entmystifizierung der Eulerschen Formel

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