Physik

Beispiel 1. Berechnung der Geschwindigkeiten nach einem elastischen Stoß

Berechnen Sie die Geschwindigkeiten zweier Objekte nach einem elastischen Stoß, wenn m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s und v2 = 0 ist.

Strategie und Konzept

Stellen Sie sich zunächst vor, was die Anfangsbedingungen bedeuten: Ein kleines Objekt trifft auf ein größeres Objekt, das sich zunächst in Ruhe befindet. Diese Situation ist etwas einfacher als die in Abbildung 1 gezeigte Situation, in der sich beide Objekte zunächst bewegen. Wir sollen zwei Unbekannte finden (die Endgeschwindigkeiten v′1 und v′2). Um zwei Unbekannte zu finden, müssen wir zwei unabhängige Gleichungen verwenden. Da dieser Zusammenstoß elastisch ist, können wir die beiden oben genannten Gleichungen verwenden. Beide Gleichungen lassen sich vereinfachen, da sich das Objekt 2 anfangs in Ruhe befindet und somit v2=0 ist. Sobald wir diese Gleichungen vereinfacht haben, können wir sie algebraisch kombinieren, um die Unbekannten zu lösen.

Lösung

Für dieses Problem stellen wir fest, dass v2=0 ist und verwenden die Impulserhaltung. Also,

p1 = p′1 + p′2 oder m1v1=m1v′1+m2v′2.

Aufgrund der Erhaltung der inneren kinetischen Energie und der Annahme, dass v2=0 ist,

\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2\

Löst man die erste Gleichung (Impulsgleichung) für v′2, erhalten wir

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)\\\.

Setzt man diesen Ausdruck in die zweite Gleichung (Gleichung der inneren kinetischen Energie) ein, so entfällt die Variable v′2, und es bleibt nur v′1 als Unbekannte übrig (die Algebra wird als Übung für den Leser belassen). Es gibt zwei Lösungen für jede quadratische Gleichung; in diesem Beispiel sind sie

v′1 = 4 . 00 m/s und v′1=-3.00 m/s.

Wie schon bei den quadratischen Gleichungen in früheren Kapiteln erwähnt, können beide Lösungen sinnvoll sein oder auch nicht. In diesem Fall ist die erste Lösung identisch mit der Anfangsbedingung. Die erste Lösung stellt also die Situation vor der Kollision dar und wird verworfen. Die zweite Lösung (v′1=-3,00 m/s) ist negativ, was bedeutet, dass das erste Objekt zurückprallt. Wenn dieser negative Wert von v′1 verwendet wird, um die Geschwindigkeit des zweiten Objekts nach der Kollision zu bestimmen, erhalten wir

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}{3.50\text{ kg}}\left\text{m/s}\\

oder

v′2=1.00 m/s.

Diskussion

Das Ergebnis dieses Beispiels ist intuitiv einleuchtend. Ein kleines Objekt trifft auf ein größeres, ruhendes Objekt und prallt nach hinten ab. Der größere Gegenstand wird nach vorne geschleudert, allerdings mit einer geringen Geschwindigkeit. (Das ist so, als würde ein Kleinwagen rückwärts auf einen großen Geländewagen prallen, der zunächst in Ruhe ist). Versuchen Sie zur Kontrolle, die innere kinetische Energie vor und nach dem Aufprall zu berechnen. Sie werden sehen, dass die innere kinetische Energie unverändert bei 4,00 J liegt. Überprüfen Sie auch den Gesamtimpuls vor und nach dem Aufprall; Sie werden feststellen, dass er ebenfalls unverändert ist.

Die oben aufgestellten Gleichungen für die Erhaltung des Impulses und der inneren kinetischen Energie können zur Beschreibung jedes eindimensionalen elastischen Aufpralls zweier Objekte verwendet werden. Diese Gleichungen können bei Bedarf auf weitere Objekte ausgedehnt werden.