Skalar (Mathematik)
Skalare von VektorräumenBearbeiten
Ein Vektorraum ist definiert als eine Menge von Vektoren, eine Menge von Skalaren und eine skalare Multiplikationsoperation, die einen Skalar k und einen Vektor v zu einem anderen Vektor kv macht. In einem Koordinatenraum ist zum Beispiel die Skalarmultiplikation k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
ergibt ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
. In einem (linearen) Funktionsraum ist kƒ die Funktion x ↦ k(ƒ(x)).
Die Skalare können aus jedem Feld stammen, einschließlich der rationalen, algebraischen, reellen und komplexen Zahlen sowie endlicher Felder.
Skalare als VektorkomponentenBearbeiten
Nach einem fundamentalen Satz der linearen Algebra hat jeder Vektorraum eine Basis. Daraus folgt, dass jeder Vektorraum über einem Skalarfeld K isomorph zu einem Koordinatenvektorraum ist, in dem die Koordinaten Elemente von K sind. Zum Beispiel ist jeder reelle Vektorraum der Dimension n isomorph zum n-dimensionalen reellen Raum Rn.
Skalare in normierten VektorräumenEdit
Alternativ kann ein Vektorraum V mit einer Normfunktion ausgestattet werden, die jedem Vektor v in V einen Skalar ||v|| zuordnet. Die Multiplikation von v mit einem Skalar k multipliziert per Definition auch seine Norm mit |k|. Wenn ||v| als die Länge von v interpretiert wird, kann diese Operation als Skalierung der Länge von v durch k beschrieben werden. Ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist, wird als normierter Vektorraum (oder normierter linearer Raum) bezeichnet.
Die Norm wird gewöhnlich als Element des Skalarfeldes K von V definiert, was letzteres auf Felder einschränkt, die den Begriff des Vorzeichens unterstützen. Wenn V die Dimension 2 oder mehr hat, muss K außerdem für die Quadratwurzel und die vier arithmetischen Operationen geschlossen sein; somit sind die rationalen Zahlen Q ausgeschlossen, aber das Summandenfeld ist akzeptabel. Aus diesem Grund ist nicht jeder Skalarproduktraum ein normierter Vektorraum.
Skalare in ModulenBearbeiten
Wenn die Anforderung, dass die Menge der Skalare ein Feld bilden muss, gelockert wird, so dass sie nur einen Ring bilden muss (so dass zum Beispiel die Division der Skalare nicht definiert sein muss oder die Skalare nicht kommutativ sein müssen), wird die resultierende allgemeinere algebraische Struktur ein Modul genannt.
In diesem Fall können die „Skalare“ komplizierte Objekte sein. Ist beispielsweise R ein Ring, so können die Vektoren des Produktraums Rn zu einem Modul gemacht werden, wobei die n×n-Matrizen mit Einträgen aus R die Skalare sind. Ein anderes Beispiel stammt aus der Mannigfaltigkeitstheorie, wo der Raum der Schnitte des Tangentenbündels ein Modul über der Algebra der reellen Funktionen auf der Mannigfaltigkeit bildet.
SkalartransformationBearbeiten
Die skalare Multiplikation von Vektorräumen und Modulen ist ein Spezialfall der Skalierung, einer Art linearer Transformation.
Skalaroperationen (Informatik)Bearbeiten
Operationen, die sich jeweils auf einen einzigen Wert beziehen.
- Skalarprozessor vs. Vektorprozessor oder superskalarer Prozessor
- Variable (Informatik) manchmal auch als „Skalar“ bezeichnet