Verhältnisse und Proportionen und wie man sie löst

Lassen Sie uns über Verhältnisse und Proportionen sprechen. Wenn wir über die Geschwindigkeit eines Autos oder eines Flugzeugs sprechen, messen wir sie in Meilen pro Stunde. Dies wird als Rate bezeichnet und ist eine Art von Verhältnis. Ein Verhältnis ist eine Möglichkeit, zwei Mengen durch Division zu vergleichen, wie in Meilen pro Stunde, wo wir Meilen und Stunden vergleichen.

Ein Verhältnis kann auf drei verschiedene Arten geschrieben werden und alle werden als „das Verhältnis von x zu y“

$$x\: zu\: y$$

$$x:y$$

$$$$frac{x}{y}$$

Ein Verhältnis hingegen ist eine Gleichung, die besagt, dass zwei Verhältnisse gleichwertig sind. Wenn zum Beispiel eine Packung Keksmischung 20 Kekse ergibt, dann ist das dasselbe wie zu sagen, dass zwei Packungen 40 Kekse ergeben.

$$$frac{20}{1}=\frac{40}{2}$

Eine Proportion wird gelesen als „x ist zu y wie z zu w“

$$frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{x}{100}={\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{2}{20}$$

$$x=\frac{200}{20}$$

$$$x=10$$

Wenn die unbekannte Zahl im Nenner steht, können wir eine andere Methode anwenden, die das Kreuzprodukt beinhaltet. Das Kreuzprodukt ist das Produkt aus dem Zähler eines der Verhältnisse und dem Nenner des zweiten Verhältnisses. Das Kreuzprodukt eines Verhältnisses ist immer gleich

Wenn wir wieder das Beispiel mit der oben verwendeten Keksmischung verwenden

$$$$frac{{\color{green} {20}}}{{\color{blue} {1}}}=\frac{\color{blue} {40}}{{\color{green} {2}}}$$

$$$$color{blue} {1}}\cdot {\color{blue} {40}}={\color{green} {2}}\cdot {\color{green} {20}}=40$$

Man sagt, dass in einem Verhältnis, wenn

$$frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: wo\: y,w\neq 0$$

$$xw=yz$$

Wenn man eine Landkarte betrachtet, sagt sie einem immer in einer der Ecken, dass 1 Zoll der Karte einer viel größeren Entfernung in der Realität entspricht. Dies wird als Skalierung bezeichnet. Wir verwenden die Skalierung oft, um verschiedene Objekte darzustellen. Bei der Skalierung wird ein Modell des Objekts nachgebildet, das die gleichen Proportionen hat, aber in der Größe variiert. Man kann den Maßstab vergrößern (vergrößern) oder verkleinern (verkleinern). Der Maßstab 1:4 zum Beispiel entspricht einem Viertel. Jedes Maß, das wir im Modell sehen, würde also 1/4 des realen Maßes betragen. Wenn wir den umgekehrten Fall berechnen wollen, d.h. eine 20 Fuß hohe Mauer, die wir im Maßstab 1:4 abbilden wollen, berechnen wir einfach:

$$$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$

In einem Modell im Maßstab 1:X, bei dem X eine Konstante ist, werden alle Messungen zu 1/X – der realen Messung. Die gleiche Mathematik gilt, wenn wir etwas vergrößern wollen. Wenn wir etwas im Maßstab 2:1 abbilden, werden alle Maße doppelt so groß wie in Wirklichkeit. Wir teilen durch 2, wenn wir das tatsächliche Maß finden wollen.

Videolektion

Finde x

$$$frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$$