Was ist die R-Konstante in PV=nRT?

In der Chemie ist die Formel PV=nRT die Zustandsgleichung für ein hypothetisches ideales Gas. Das ideale Gasgesetz beschreibt das Verhalten einer idealen Gasprobe und wie dieses Verhalten mit dem Druck (P), der Temperatur (T), dem Volumen (V) und der Molarität (n) der Gasprobe zusammenhängt. In der Gleichung PV=nRT steht der Begriff „R“ für die universelle Gaskonstante.

Die universelle Gaskonstante ist eine Proportionalitätskonstante, die die Energie einer Gasprobe mit der Temperatur und Molarität des Gases in Beziehung setzt. Sie wird manchmal auch als ideale Gaskonstante oder als molare Gaskonstante bezeichnet. Manchmal wird sie auch als Regnault-Konstante bezeichnet, zu Ehren des französischen Chemikers Henri Regnault, dessen quantitative Daten erstmals zur genauen Berechnung des Wertes der Konstante verwendet wurden. Der gegenwärtig akzeptierte Wert für die universelle Gaskonstante R ist:

R-Konstante = 8,3144598 J/mol-K

Die Einheit für die Gaskonstante ist das Joule pro Mol-Kelvin. Dies kann als „Arbeit pro Mol pro Grad“ gelesen werden. Im Wesentlichen setzt die Gaskonstante die molare Menge des Gases und die Temperatur des Gases mit der Menge der kinetischen Energie im Gas in Beziehung. Man kann die universelle Gaskonstante berechnen, indem man das Produkt aus Druck und Volumen eines Gases durch die molare Menge und die Temperatur des Gases dividiert:

R = PV/nT

Ableitung des idealen Gasgesetzes

„Gase unterscheiden sich von anderen Formen der Materie nicht nur durch ihre Fähigkeit, sich unbegrenzt auszudehnen, so dass sie jedes noch so große Gefäß ausfüllen können, und durch die große Wirkung, die die Wärme bei ihrer Ausdehnung hat, sondern auch durch die Einheitlichkeit und Einfachheit der Gesetze, die diese Veränderungen regeln.“ – James Clerk Maxwell

Hinweis

Das ideale Gasgesetz ist eine der grundlegendsten Gleichungen in der physikalischen Chemie, die unabhängig voneinander durch experimentelle Analyse und theoretische Extrapolation abgeleitet worden ist. Ursprünglich entstand das ideale Gasgesetz als eine Kombination von vier anderen mathematischen Ausdrücken, die verschiedene Eigenschaften eines Gases miteinander in Beziehung setzen. Die vier Einzelgesetze sind: Charles’sches Gesetz, Boyle’sches Gesetz, Gay-Lussac’sches Gesetz und Avagadro’sches Gesetz.

Charles’sches Gesetz

Das Charles’sche Gesetz ist ein empirisches Gesetz, das besagt, dass das Volumen eines Gases direkt proportional zur Temperatur des Gases ist. Mit anderen Worten: Erhöht man die Temperatur eines Gases und bleiben alle anderen Faktoren gleich, so nimmt das Volumen des Gases entsprechend zu. Wenn man die Temperatur eines Gases senkt, wird man eine entsprechende Abnahme des Volumens feststellen. Mathematisch gesehen kann das Charles’sche Gesetz wie folgt geschrieben werden:

• V ∝ T

wobei „∝“ „direkt proportional zu“ bedeutet, oder

• V/T = konstant

Im Wesentlichen ist das Charles’sche Gesetz eine mathematisch präzise Art und Weise, die oft beobachtete Tatsache zu beschreiben, dass Gase dazu neigen, sich auszudehnen, wenn sie erhitzt werden.

Boyle’s Law

Das Boyle’sche Gesetz ist ein Gasgesetz, das beschreibt, wie der Druck einer Gasprobe mit abnehmendem Volumen dieser Probe zunimmt. Das Boyle’sche Gesetz kann wie folgt formuliert werden: „Der Druck eines Gases in einem geschlossenen System bei konstanter Menge und Temperatur ist umgekehrt proportional zum Volumen des Gases.“ Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

• V ∝ 1/P

oder

• PV = konstant

Das Boyle’sche Gesetz besagt im Grunde, dass ein Gas, wenn es komprimiert wird, weniger Platz hat und daher stärker auf die Wände seines Behälters drückt.

Gay-Lussac-Gesetz

Das Gay-Lussac-Gesetz ist eine empirische Verallgemeinerung, die die Beziehung zwischen der Temperatur einer Gasprobe und ihrem Druck festhält. Das Gay-Lussac’sche Gesetz besagt, dass bei konstantem Volumen und konstanter Menge der Druck eines Gases direkt proportional zur Temperatur des Gases ist. Dieses Gesetz lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:

• P ∝ T

oder,

• P/T = konstant

Grundlegend besagt das Gay-Lussac’sche Gesetz, dass eine Erwärmung einer Gasprobe zu einem entsprechenden Anstieg des Drucks führt. Die Temperatur ist lediglich ein Maß für die Molekularbewegung, so dass sich die Teilchen eines Gases bei Erwärmung schneller bewegen. Je schneller sich die einzelnen Moleküle bewegen, desto mehr Kraft üben sie auf die Wände des Behälters aus – das Gas übt einen höheren Druck aus. Das Gay-Lussac’sche Gesetz erklärt, warum das Erhitzen eines versiegelten Gasbehälters diesen aufblähen kann; der vom Gas ausgeübte Druck wird für das Material zu groß und es zerreißt.

Avagadros Gesetz

Das letzte der vier Teile der idealen Gasgleichung ist das Avagadro’sche Gesetz. Das Avagadrosche Gesetz besagt, dass das Volumen eines Gases bei konstantem Druck und konstanter Temperatur direkt proportional zu der Anzahl der Teilchen ist, aus denen das Gas besteht. Anders ausgedrückt: Wenn zwei Gasproben bei konstanter Temperatur und konstantem Druck das gleiche Volumen haben, dann haben die beiden Gasproben die gleiche Anzahl von Teilchen. Die Gleichung für das Avagadrosche Gesetz lautet:

• V ∝ n

wobei n die Anzahl der einzelnen Teilchen ist. Das Avagadrosche Gesetz kann auch wie folgt geschrieben werden:

• V/n = konstant

Das Avagadrosche Gesetz ist sehr intuitiv. Der gesunde Menschenverstand sagt, dass ein Gas umso mehr Raum einnimmt, je größer es ist, wenn alle anderen Dinge gleich sind. Oder: Wenn zwei Gase das gleiche Volumen haben, müssen sie auch die gleiche Menge an Teilchen haben.

Ableitung des idealen Gasgesetzes

Nachdem wir nun die vier grundlegenden Zustandsgleichungen für Gase kennen, können wir sie in einem einzigen Ausdruck kombinieren, um das ideale Gasgesetz zu erhalten. Wir können Gesetze wie folgt kombinieren:

• V ∝ T (Charles’sches Gesetz)
• V ∝ 1/P (Boyle’sches Gesetz)
• P ∝ T (Gay-Lussac’sches Gesetz)
• V ∝ n (Avagadro’sches Gesetz)

Die Kombination dieser Ausdrücke ergibt:

• V ∝ nT/P

Da „∝“ eine direkte Proportionalität darstellt, können wir das „∝“ durch ein „=“ ersetzen, indem wir auf der rechten Seite eine Proportionalitätskonstante hinzufügen. Experimentell haben wir festgestellt, dass diese Konstante gleich dem Wert von R ist, so dass das Hinzufügen von R zu der Gleichung Folgendes ergibt:

• V = nRT/P

Durch Umstellen dieser Gleichung erhalten wir:

• PV = nRT

Die Bedeutung der R-Konstante

„Die Dichter sagen, dass die Wissenschaft die Schönheit der Sterne wegnimmt – bloße Kugeln aus Gasatomen. Auch ich kann die Sterne in einer Wüstennacht sehen und sie fühlen. Aber sehe ich weniger oder mehr?“ – Richard P. Feynman

Was genau ist also die universelle Gaskonstante? Die anderen Parameter in der idealen Gasgleichung scheinen alle einer physikalisch bedeutsamen Variablen zu entsprechen: Druck (P), Volumen (V), Menge einer Substanz (n) und Temperatur (T). R scheint dies jedoch nicht zu tun. Wie viele mathematische Konstanten lässt sich auch der Begriff R nicht explizit auf eine physikalische Größe, eine Einheit oder einen Prozess beziehen. Stattdessen stellt der Parameter R eine Beziehung dar, die zwischen einigen physikalischen Größen, insbesondere dem Druck und dem Volumen eines Gases sowie der Temperatur und der Gasmenge, besteht. Konkret ist R gleich dem Verhältnis PV/nT.

Der genaue numerische Wert der Gaskonstante hängt von den gewählten Einheiten ab. Der numerische Wert von R, der 8,3144598 beträgt, ergibt sich aus den von uns verwendeten spezifischen Einheiten. Dieser Wert von R ist das Ergebnis der Messung der physikalischen Größen von Gasen in den SI-Standardeinheiten. Die SI-Standardeinheiten und ihre Symbole für jeden Parameter in der idealen Gasgleichung sind:

• Druck (P) – Newton (kg-m/s²)
• Volumen (V) – Meter (m³)
• Temperatur (T) – Kelvin (K)
• Stoffmenge (n) – Mol (mol)

Wenn wir unsere Einheiten ändern, dann ändert sich auch der Zahlenwert der Gaskonstante. Nehmen wir zum Beispiel an, wir entscheiden uns, das Volumen des Gases in Litern (L) statt in Metern und den Druck des Gases in Standardatmosphären (atm) statt in Newton zu messen. Mit diesen Einheiten erhält die universelle Gaskonstante einen Zahlenwert von R = 0,082057 L-atm/mol-K. Angenommen, wir entscheiden uns, den Druck in Millimeter Quecksilber (mmHg) zu messen. Dann erhält die Gaskonstante den numerischen Wert R = 62,3636711 m³-mmHG/mol-K

Es ist wichtig zu wissen, dass eine Änderung der Einheiten nicht bedeutet, dass sich die Gaskonstante selbst ändert. Die Gaskonstante ist genau das, eine Konstante, und daher ändert sie sich nicht. Durch die Änderung der Einheiten ändert sich lediglich der numerische Wert, mit dem die Konstante ausgedrückt wird. Theoretisch wäre es möglich, ein Einheitensystem zu wählen, das den numerischen Wert der Gaskonstante auf 1 ändert. In einem solchen Einheitensystem könnte die ideale Gasgleichung einfach als PV = nT geschrieben werden. Beachten Sie jedoch, dass in dieser Gleichung die universelle Gaskonstante nicht verschwunden ist. Die Gaskonstante ist nach wie vor vorhanden, sie hat nur einen numerischen Wert von R = 1. Die Konstante selbst ist nach wie vor erforderlich, um eine angemessene Dimensionsanalyse der verwendeten Einheiten vorzunehmen.

Im Wesentlichen stellt der Parameter R eine Beziehung dar, die zwischen den physikalischen Parametern des Gases und den Einheiten besteht, die wir zur Messung dieser physikalischen Parameter wählen. Daher kann die Gaskonstante verwendet werden, um die physikalischen Messungen von Gas in verschiedene Einheitensysteme umzuwandeln.

Grenzen des idealen Gasgesetzes

Es gibt einen Grund, warum es das „ideale“ Gasgesetz und nicht das „tatsächliche“ Gasgesetz genannt wird. Die Gültigkeit der idealen Gasgleichung hängt von einer Handvoll idealisierter Annahmen über den Charakter und das Verhalten von Gasen ab. Erstens geht das ideale Gasgesetz davon aus, dass die Teilchen in einem Gas den Newtonschen Gesetzen der Mechanik gehorchen. Das bedeutet, dass man davon ausgeht, dass die Gasteilchen den von Isaac Newton beschriebenen Gesetzen der Kraft und der Schwerkraft gehorchen und die Auswirkungen elektrostatischer zwischenmolekularer Anziehungskräfte nicht berücksichtigt werden.

„Die Science-Fiction von heute ist die wissenschaftliche Tatsache von morgen.“ – Isaac Asimov

Zweitens wird angenommen, dass die Moleküle des Gases im Vergleich zum Gesamtvolumen des Gases vernachlässigbar klein sind. Diese Annahme ermöglicht es den Wissenschaftlern, ihre Berechnungen für das Volumen zu vereinfachen, indem sie das von Null abweichende Volumen, das die Moleküle tatsächlich haben, außer Acht lassen.

Drittens werden Zusammenstöße zwischen den Molekülen und den Wänden des Behälters als vollkommen elastisch betrachtet, d. h. es geht keine kinetische Energie bei Zusammenstößen verloren. In Wirklichkeit wird eine winzige Menge an kinetischer Energie von den Wänden des Behälters absorbiert und als Wärme abgeleitet. Normalerweise ist diese winzige Energiemenge vernachlässigbar und kann ignoriert werden.

Aufgrund dieser Annahmen ist das „universelle“ Gasgesetz technisch gesehen nicht allgemeingültig und nur in einem bestimmten Bereich genau. Insbesondere in einer sehr kalten Gasprobe überwinden die zwischenmolekularen Wechselwirkungen die kinetische Energie der Teilchen, wodurch das Verhalten des Gases vom idealen Verhalten abweicht. Komplexere Zustandsgleichungen, wie z. B. die van-der-Waals-Gleichungen, werden verwendet, um die Auswirkungen der intermolekularen Kräfte auf das Verhalten der Teilchen zu berücksichtigen.