Wie gut ist dein Bowling-Ergebnis?
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„Alles wird gut, wenn du deinen Verstand für deine Entscheidungen einsetzt und nur deine Entscheidungen beachtest.“ Seit 2007 habe ich mein Leben der Freude an der Spieltheorie und Mathematik gewidmet. MindYourDecisions hat jetzt über 1.000 kostenlose Artikel ohne Werbung, dank der Unterstützung der Community! Helfen Sie mit und erhalten Sie frühzeitigen Zugang zu den Beiträgen, indem Sie auf Patreon einen Beitrag leisten.
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Gewöhnlich kegle ich eine Punktzahl um die 130, aber neulich traf ich sechs Strikes und landete bei 215.
Ich nahm mir einen Moment Zeit, um mich über die hohe Punktzahl zu freuen, aber dann dachte ich etwas kritischer. Ich war neugierig darauf, wie gut die Punktzahl in einem statistischen Sinne war.
Ich war mit einigen mathematisch interessierten Freunden zusammen, und unsere Diskussion brachte viele Fragen hervor.
Wie viele verschiedene Bowlingspiele sind möglich? Wie hoch ist die durchschnittliche Bowlingpunktzahl? Wie viele Möglichkeiten gibt es, jede Bowling-Punktzahl zu erreichen (wie sieht die Verteilung der Bowling-Punktzahlen aus)?
Ich habe ein wenig recherchiert und war erfreut zu erfahren, dass es bereits Menschen gibt, die diese Fragen mathematisch beantwortet haben. Hier einige der interessanten Berechnungen.
Ein Bowlingspiel in mathematische Begriffe fassen
Der erste Schritt des Problems besteht darin, ein Bowlingspiel in Mathematik zu übersetzen. Die Idee ist, eine Kurznotation zu entwickeln, um das Spiel kompakt zu beschreiben. Ich werde mich an die Notation halten, die in diesem Artikel „Is the Mean Bowling Score Awful“
Betrachten Sie den allerersten Frame eines Spiels. Was sind die möglichen Ergebnisse, wenn du die Kugel bowlst?
Eine Möglichkeit ist, dass du alle 10 Pins mit einem Strike umwirfst und der erste Frame endet.
Die andere Möglichkeit ist, dass du nicht alle 10 Pins umwirfst. Dann bekommt man eine zweite Chance, die restlichen Pins zu treffen. Wenn du die restlichen Pins umwirfst, ist es ein Spare.
Mathematisch können wir die Schalen als eine Menge von zwei Zahlen modellieren: die Anzahl der Pins, die beim ersten Wurf umgeworfen wurden, und die Anzahl beim zweiten Wurf. Wir können dies als geordnete Menge (erster Wurf, zweiter Wurf) = (x , y) schreiben.
Wenn du 3 Pins umwirfst und dann 4, ist die Menge (3, 4). Oder wenn man 3 und dann 7 Pins umwirft, um einen Spare zu machen, würde man das als (3,7)
Bei einem Strike wirft man alle 10 Pins um und bekommt keinen zweiten Wurf. Wir können diesen Spezialfall als (10, 0) schreiben, wobei wir davon ausgehen, dass Sie nie einen zweiten Wurf gemacht haben.
Mit dieser Notation können wir die möglichen Ergebnisse im ersten Frame kompakt beschreiben. Die Ergebnisse können als geordnetes Paar von zwei Zahlen geschrieben werden, wobei beide Zahlen Null oder positiv sind und die Summe der beiden Zahlen höchstens 10 beträgt – da man in einem Frame höchstens 10 Kegel umwerfen kann.
In der Mengenschreibweise wird dies so geschrieben
Die ersten neun Frames des Spiels funktionieren auf die gleiche Weise.
Das zehnte Frame des Spiels ist etwas anders. Wenn man beim ersten Wurf einen Strike oder beim zweiten Wurf einen Spare erzielt, darf man im zehnten Frame einen dritten Bonuswurf machen. Daher muss der zehnte Frame durch drei Zahlen dargestellt werden, mit besonderen Beziehungen, je nachdem, ob ein Strike oder ein Spare erzielt wird.
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten:
-Zwei Würfe werden gemacht, weniger als 10 werden niedergeschlagen (kein dritter Wurf)
-Der zweite Wurf ergibt einen Spare
-Der erste Wurf ist ein Strike, der zweite aber nicht
-Zwei Strikes werden gemacht
Die Notation wird komplizierter, aber im Wesentlichen ist es so, wie man diese vier Möglichkeiten in Mengennotation schreiben würde. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Dann multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten, um die Gesamtzahl der Spiele zu erhalten.
Die Menge A ist die Anzahl der Möglichkeiten, dass zwei positive ganze Zahlen die Summe 10 oder weniger ergeben. Dies ist ein klassisches Problem der Kombinatorik.
Es gibt einen cleveren Weg, die Anzahl der Lösungen zu zählen. Über Google Books habe ich eine Herleitung gefunden, mit der man die Anzahl der Wege finden kann, auf denen n nichtnegative ganze Zahlen eine ganze Zahl r ergeben:
Link zu Seite 46 von Principles and techniques in combinatorics bei Google Books
Die Formel lautet C(r + n -1, r)
In unserer Kegelmenge wollen wir den Weg finden, auf dem zwei Zahlen (n = 2) 10 oder weniger ergeben (r = 10, 9, 8, …, 0).
Wir wollen die Formel für jeden Wert von r berechnen und dann alle zusammenzählen. Das ist weniger Arbeit, als es klingt.
Für r = 10 lautet die Formel C(11, 10), also 11. Für r = 9 wird die Formel zu C(10, 9), was 10 ergibt. Das Muster setzt sich für niedrigere Werte von r fort, so dass wir am Ende 11 + 10 + 9 + … 1 addieren wollen.
Das lässt sich leicht als 66 berechnen. Es gibt also 66 Möglichkeiten für jedes der ersten neun Bilder.
Wir wollen nun die Anzahl der Möglichkeiten für das zehnte Bild wissen.
Das Verfahren ist das gleiche wie zuvor. Ich erspare uns hier die blutigen Details und sage nur, dass die Antwort 241 ist.
Nun können wir die Gesamtzahl der Bowlingspiele berechnen, indem wir die Zahlen miteinander multiplizieren.
Die Gesamtzahl der Bowlingspiele ist (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), was ungefähr 5 ist.7 x 1018
Das ist zwar nicht annähernd so viel wie die Anzahl der möglichen Schachpartien, aber immer noch eine wirklich große Zahl.
Um das in die richtige Perspektive zu rücken, bräuchte die gesamte Welt (6,7 x 109), die jeden Tag eine Partie spielt, über 2,3 Millionen Jahre, um so viele verschiedene Partien zu spielen.
Wie hoch ist die durchschnittliche Bowlingpunktzahl?
Dieser Teil wird mathematisch noch komplizierter.
Der Trick besteht darin, die Sätze in Punkte umzuwandeln, basierend auf den speziellen Regeln für Spares (Bonus für den nächsten Wurf) und Strikes (Bonus für die nächsten zwei Würfe).
Dann kann der Mittelwert berechnet werden, indem alle möglichen Punkte durch die Anzahl der Spiele summiert werden, die zuvor abgeleitet wurde.
Die durchschnittliche Bowlingpunktzahl stellt sich als ungefähr 80 heraus (oder um genau zu sein, eher 79.7).
Nehmen Sie das als Bestätigung dafür, dass selbst eine bescheidene Punktzahl wie 100 überdurchschnittlich hoch ist!
Die Details der Herleitung werden im folgenden Auszug erläutert:
Link zu Mean bowling score at Google Books
Der Artikel ist veraltet, weil er mit der offenen Frage endet, wie man die vollständige Verteilung der Bowling-Punktzahlen bestimmen kann. Das ist in der Tat geschehen.
Wie sieht die Verteilung der Bowling-Punkte aus?
Die letzte und wirklich schwierige Frage ist die nach der Verteilung der Bowling-Punkte.
Das heißt, für jeden Punktestand n, wie viele Möglichkeiten s(n) gibt es, diesen Punktestand zu erreichen.
Es gibt einige Fälle, in denen die Antwort offensichtlich ist. Es gibt nur 1 Möglichkeit, die Punktzahl 0 zu erreichen, so wie es nur 1 Möglichkeit gibt, die Punktzahl 300 zu erreichen, oder 299, oder 298, und so weiter bis 291.
Die anderen Fälle sind komplizierter herauszufinden. Es gibt 20 Möglichkeiten, die Punktzahl 1 zu erreichen, und es gibt 11 Möglichkeiten, die Punktzahl 290 zu erreichen.
Um die gesamte Verteilung herauszufinden, muss man clevere Berechnungen anstellen. Die Ergebnisse sind auf dieser wunderbaren Webseite beschrieben, die folgende schöne Grafik enthält:
Bildquelle: all about bowling scores
Beachte, dass die Bowling-Ergebnisse stark verzerrt sind! Ergebnisse über 120 sind unwahrscheinlicher, da ein Spieler eine vernünftige Anzahl von Spares und Strikes erzielen muss.
Eine andere Art, darüber nachzudenken, ist, dass sogar ein bescheidenes Ergebnis von 115 im 99sten Perzentil liegt.
Erinnern Sie sich daran, wenn Sie das nächste Mal bowlen gehen. Angesichts der Bandbreite möglicher Bowling-Ergebnisse ist Ihr Ergebnis wahrscheinlich besser, als Sie denken!
(Die Perzentile ändern sich, wenn wir die Verteilung auf tatsächliche Bowling-Daten stützen. Leider konnte ich dazu keine Statistiken finden.)