¿Cómo de buena es tu puntuación en los bolos?
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Normalmente juego a los bolos con una puntuación de alrededor de 130, pero el otro día hice seis strikes y terminé con 215.
Me tomé un momento para deleitarme con la alta puntuación, pero luego me puse a pensar de forma más crítica. Tenía curiosidad por saber cómo de buena era la puntuación en un sentido estadístico.
Estaba con unos amigos de mentalidad matemática y nuestra discusión trajo consigo muchas preguntas.
¿Cuántas partidas de bolos diferentes son posibles? Cuál es la puntuación media de los bolos? ¿De cuántas formas se puede conseguir cada puntuación en los bolos (cuál es la distribución de las puntuaciones en los bolos)?
Investigué un poco y me alegró saber que la gente ya ha hecho las cuentas para responder a estas preguntas. Aquí están algunas de las matemáticas interesantes.
Escribir un juego de bolos en términos matemáticos
El primer paso del problema es traducir un juego de bolos a las matemáticas. La idea es desarrollar una notación corta para describir de forma compacta el juego. Seguiré la notación desarrollada en este artículo «Is the Mean Bowling Score Awful»
Considere el primer cuadro de un juego. ¿Cuáles son los posibles resultados cuando lanza la bola?
Una posibilidad es que derribe los 10 bolos con un strike y el primer cuadro termina.
La otra posibilidad es que no derribe los 10 bolos. Entonces tienes una segunda oportunidad para derribar los bolos restantes. Si se derriban los bolos restantes, es un spare.
Matemáticamente podemos modelar los bolos como un conjunto de dos números: el número de bolos derribados en el primer lanzamiento, y el número en el segundo. Podemos escribirlo como un conjunto ordenado (primer lanzamiento, segundo lanzamiento) = (x , y).
Si derribas 3 bolos y luego 4, el conjunto es (3, 4). O si derribas 3 y luego 7 para hacer un spare, se escribiría (3,7)
En un strike derribas los 10 bolos y no consigues un segundo lanzamiento. Podemos escribir este caso especial como (10, 0) entendiendo que en realidad nunca hiciste un segundo lanzamiento.
Con esta notación, podemos describir de forma compacta los posibles resultados en la primera trama. Los resultados se pueden escribir como un par ordenado de dos números, donde ambos números son cero o positivos, y los dos números suman como máximo 10, ya que lo máximo que se puede derribar en un marco es 10 bolos.
En notación de conjuntos, esto se escribe
Los primeros nueve cuadros del juego funcionan de la misma manera.
El décimo cuadro del juego es ligeramente diferente. Si consigues un strike en la primera tirada, o un spare en la segunda, consigues hacer una tercera tirada extra en el décimo fotograma. Por lo tanto, el décimo cuadro tiene que ser representado por tres números, con relaciones especiales dependiendo de si se hace un strike o un spare.
Hay cuatro posibilidades diferentes:
-Se hacen dos lanzamientos, se derriban menos de 10 (no hay tercer lanzamiento)
-El segundo lanzamiento hace un spare
-El primer lanzamiento es un strike pero el segundo no lo es
-Se hacen dos strikes
La notación se complica, pero esencialmente es como se escribirían estas cuatro posibilidades en notación de conjuntos. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Luego multiplicamos el número de formas para obtener el número de juegos totales.
El conjunto A es el número de formas en que dos números enteros positivos suman 10 o menos. Este es un problema clásico de combinatoria.
Hay una forma inteligente de contar el número de soluciones. He encontrado una derivación a través de Google Books para encontrar el número de formas en que n números enteros no negativos suman a un número entero r:
Enlace a la página 46 de Principles and techniques in combinatorics en Google Books
La fórmula es C(r + n -1, r)
En nuestro conjunto de bolos, queremos encontrar la forma en que dos números (n = 2) suman 10 o menos (r = 10, 9, 8, …, 0).
Queremos calcular la fórmula para cada valor de r y luego sumarlos todos. Esto es menos trabajo de lo que parece.
Para r = 10, vemos que la fórmula es C(11, 10) que es 11. Para r = 9, la fórmula se convierte en C(10, 9) que es 10. El patrón continúa para valores inferiores de r, por lo que al final queremos sumar 11 + 10 + 9 + … 1.
Esto se calcula fácilmente como 66. Por tanto, hay 66 formas para cada uno de los nueve primeros fotogramas.
Ahora queremos saber el número de formas para el décimo fotograma.
El proceso es el mismo que antes. Me ahorraré los detalles escabrosos en este caso y me limitaré a decir que la respuesta es 241.
Ahora podemos calcular el número total de partidas de bolos multiplicando los números entre sí.
El número total de partidas de bolos es (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), que es aproximadamente 5.7 x 1018
Esto no se acerca ni de lejos al número de partidas de ajedrez posibles, pero sigue siendo un número realmente grande.
Para ponerlo en perspectiva, se necesitaría todo el mundo (6,7 x 109), jugando una partida cada día, más de 2,3 millones de años para jugar esa cantidad de partidas diferentes.
¿Cuál es la puntuación media en los bolos?
Esta parte se complica aún más matemáticamente.
El truco consiste en convertir los conjuntos en puntuaciones, basándose en las reglas especiales para los spares (bonificación de la siguiente tirada) y los strikes (bonificación de las dos siguientes tiradas).
Entonces se puede calcular la media sumando todas las puntuaciones posibles por el número de partidas, que se dedujo anteriormente.
La puntuación media en los bolos resulta ser de unos 80 (o para ser precisos, más bien 79.7).
Toma esto como una garantía de que incluso una puntuación modesta como 100 está por encima de la media.
Los detalles de la derivación se explican en el siguiente extracto:
Enlace a Mean bowling score at Google Books
El artículo tiene fecha porque termina dejando una cuestión abierta de determinar la distribución completa de las puntuaciones de bolos. Esto, de hecho, se ha hecho.
¿Cuál es la distribución de las puntuaciones de los bolos?
La pregunta final y realmente difícil es encontrar la distribución de los bolos.
Es decir, para cada puntuación n, cuál es el número de formas s(n) de conseguir esa puntuación.
Hay algunos casos en los que la respuesta es obvia. Sólo hay 1 forma de conseguir una puntuación de 0, como sólo hay 1 forma de conseguir 300, o 299, o 298, y así hasta 291.
Los otros casos son más complicados de averiguar. Hay 20 formas de puntuar 1, y hay 11 formas de puntuar 290.
Descubrir la distribución completa requiere un cálculo inteligente. Los resultados se describen en esta maravillosa página web que contiene el siguiente bonito gráfico:
Fuente de la imagen: all about bowling scores
¡Nota que las puntuaciones de los bolos están muy sesgadas! Las puntuaciones por encima de 120 son menos probables ya que requiere que un jugador consiga un número razonable de spares y strikes.
Otra forma de pensar en esto es que incluso una modesta puntuación de 115 está en el percentil 99.
Recuerda esto la próxima vez que salgas a jugar a los bolos. Dado el rango de puntuaciones posibles en los bolos, ¡tu puntuación es probablemente mejor de lo que crees!
(Los percentiles cambiarán si basamos la distribución en datos reales de los bolos. Lamentablemente no he podido encontrar ninguna estadística al respecto)