El largo camino hacia las ecuaciones de Maxwell

Si quieres rendir homenaje al gran físico James Clerk Maxwell, no te faltarán lugares en los que hacerlo. Hay un marcador conmemorativo en la Abadía de Westminster de Londres, no muy lejos de la tumba de Isaac Newton. Recientemente se ha instalado una magnífica estatua en Edimburgo, cerca de su lugar de nacimiento. O puede presentar sus respetos en su última morada cerca de Castle Douglas, en el suroeste de Escocia, a poca distancia de su querida finca ancestral. Son monumentos apropiados para la persona que desarrolló la primera teoría unificada de la física, que demostró que la electricidad y el magnetismo están íntimamente conectados.

Pero lo que estos hitos no reflejan es el hecho de que, en el momento de la muerte de Maxwell en 1879, su teoría electromagnética -que sustenta gran parte de nuestro mundo tecnológico moderno- aún no tenía una base sólida.

Una extraordinaria cantidad de información sobre el mundo -las reglas básicas por las que se comporta la luz, fluye la corriente y funciona el magnetismo- puede reducirse a cuatro elegantes ecuaciones. Hoy en día, se conocen colectivamente como las ecuaciones de Maxwell, y se pueden encontrar en casi todos los libros de texto de introducción a la ingeniería y la física.

Podría decirse que estas ecuaciones tuvieron su inicio hace 150 años este mes, cuando Maxwell presentó su teoría que unía la electricidad y el magnetismo ante la Royal Society de Londres, publicando un informe completo al año siguiente, en 1865. Este trabajo sentó las bases para todos los grandes logros de la física, las telecomunicaciones y la ingeniería eléctrica que vendrían después.

Pero hubo un largo intervalo entre la presentación y la utilización. Los fundamentos matemáticos y conceptuales de la teoría de Maxwell eran tan complicados y contrarios a la intuición que su teoría fue ignorada en gran medida tras su presentación.

Un pequeño grupo de físicos, obsesionados a su vez con los misterios de la electricidad y el magnetismo, tardó casi 25 años en dar una base sólida a la teoría de Maxwell. Fueron ellos quienes reunieron las pruebas experimentales necesarias para confirmar que la luz está formada por ondas electromagnéticas. Y fueron ellos quienes dieron a sus ecuaciones su forma actual. Sin los hercúleos esfuerzos de este grupo de «maxwelianos», así llamados por el historiador Bruce J. Hunt, de la Universidad de Texas en Austin, podrían haber pasado décadas más antes de que nuestra concepción moderna de la electricidad y el magnetismo fuera ampliamente adoptada. Y eso habría retrasado toda la increíble ciencia y tecnología que vendría después.

Hoy en día, aprendemos pronto que la luz visible es sólo un trozo del amplio espectro electromagnético, cuya radiación está formada por campos eléctricos y magnéticos oscilantes. Y aprendimos que la electricidad y el magnetismo están inextricablemente unidos; un campo magnético cambiante crea un campo eléctrico, y la corriente y los campos eléctricos cambiantes dan lugar a los campos magnéticos.

Tenemos que agradecer a Maxwell estas ideas básicas. Pero no se le ocurrieron de repente y de la nada. Las pruebas que necesitaba llegaron a trozos, a lo largo de más de 50 años.

Podría empezar el reloj en 1800, cuando el físico Alessandro Volta informó de la invención de una pila, que permitió a los experimentadores empezar a trabajar con corriente continua. Unos 20 años más tarde, Hans Christian Ørsted obtuvo la primera prueba de la relación entre la electricidad y el magnetismo, al demostrar que la aguja de una brújula se movía cuando se acercaba a un cable portador de corriente. Poco después, André-Marie Ampère demostró que dos hilos conductores de corriente paralelos podían mostrar una atracción o repulsión mutua en función de la dirección relativa de las corrientes. Y a principios de la década de 1830, Michael Faraday había demostrado que, al igual que la electricidad podía influir en el comportamiento de un imán, un imán podía afectar a la electricidad, cuando demostró que al hacer pasar un imán por un bucle de alambre se podía generar corriente.

Estas observaciones eran pruebas fragmentarias de un comportamiento que nadie entendía realmente de forma sistemática o exhaustiva. Qué era realmente la corriente eléctrica? Cómo un alambre portador de corriente alcanzaba y retorcía un imán? Y ¿cómo creaba corriente un imán en movimiento?

Una semilla importante fue plantada por Faraday, quien imaginó un misterioso e invisible «estado electrotónico» que rodeaba al imán, lo que hoy llamaríamos un campo. Postuló que los cambios en este estado electrotónico son los que causan los fenómenos electromagnéticos. Y Faraday planteó la hipótesis de que la propia luz era una onda electromagnética. Pero plasmar estas ideas en una teoría completa estaba más allá de sus capacidades matemáticas. Ese era el estado de las cosas cuando Maxwell entró en escena.

En la década de 1850, tras graduarse en la Universidad de Cambridge, en Inglaterra, Maxwell se puso a intentar dar sentido matemático a las observaciones y teorías de Faraday. En su primer intento, un artículo de 1855 titulado «On Faraday’s Lines of Force» (Sobre las líneas de fuerza de Faraday), Maxwell ideó un modelo por analogía, demostrando que las ecuaciones que describen el flujo de fluidos incompresibles también podían utilizarse para resolver problemas con campos eléctricos o magnéticos invariables.

Su trabajo se vio interrumpido por una ráfaga de distracciones. Aceptó un trabajo en 1856 en el Marischal College, en Aberdeen, Escocia; dedicó varios años a un estudio matemático de la estabilidad de los anillos de Saturno; fue despedido en una fusión universitaria en 1860; y contrajo la viruela y estuvo a punto de morir antes de aceptar finalmente un nuevo trabajo, como profesor en el King’s College de Londres.

De alguna manera, en todo esto, Maxwell encontró tiempo para dar cuerpo a la teoría de campo de Faraday. Aunque todavía no era una teoría completa del electromagnetismo, un artículo que publicó en varias partes en 1861 y 1862 resultó ser un importante peldaño.

A partir de ideas anteriores, Maxwell imaginó una especie de medio molecular en el que los campos magnéticos son conjuntos de vórtices giratorios. Cada uno de estos vórtices está rodeado de pequeñas partículas de alguna forma que ayudan a transportar el giro de un vórtice a otro. Aunque más tarde lo dejó de lado, Maxwell descubrió que esta visión mecánica ayudaba a describir una serie de fenómenos electromagnéticos. Quizá lo más importante es que sentó las bases de un nuevo concepto físico: la corriente de desplazamiento.

La corriente de desplazamiento no es realmente corriente. Es una forma de describir cómo el cambio en el campo eléctrico que pasa por una zona determinada puede dar lugar a un campo magnético, al igual que una corriente. En el modelo de Maxwell, la corriente de desplazamiento surge cuando un cambio en el campo eléctrico provoca un cambio momentáneo en la posición de las partículas en el medio del vórtice. El movimiento de estas partículas genera una corriente.

Una de las manifestaciones más dramáticas de la corriente de desplazamiento se da en el condensador, donde en algunos circuitos la energía almacenada entre dos placas de un condensador oscila entre valores altos y bajos. En este sistema, es bastante fácil visualizar cómo funcionaría el modelo mecánico de Maxwell. Si el condensador contiene un material aislante y dieléctrico, se puede pensar que la corriente de desplazamiento surge del movimiento de los electrones que están unidos a los núcleos de los átomos. Estos oscilan de un lado a otro, como si estuvieran unidos a bandas elásticas estiradas. Pero la corriente de desplazamiento de Maxwell es más fundamental que eso. Puede surgir en cualquier medio, incluido el vacío del espacio, donde no hay electrones disponibles para crear una corriente. Y al igual que una corriente real, da lugar a un campo magnético.

Con la adición de este concepto, Maxwell tenía los elementos básicos que necesitaba para vincular las propiedades medibles de los circuitos a dos constantes, ahora en desuso, que expresan la facilidad con la que se forman los campos eléctricos y magnéticos en respuesta a una tensión o una corriente. (Hoy en día, formulamos estas constantes fundamentales de manera diferente, como la permitividad y la permeabilidad del espacio libre.)

De la misma manera que una constante de resorte determina la rapidez con la que un resorte rebota después de ser estirado o comprimido, estas constantes pueden combinarse para determinar la rapidez con la que una onda electromagnética viaja en el espacio libre. Después de que otros determinaran sus valores mediante experimentos con condensadores e inductores, Maxwell pudo estimar la velocidad de una onda electromagnética en el vacío. Cuando comparó el valor con las estimaciones existentes de la velocidad de la luz, concluyó a partir de su casi igualdad que la luz debía ser una onda electromagnética.

Maxwell completó las últimas piezas clave de su teoría electromagnética en 1864, cuando tenía 33 años (aunque realizó algunas simplificaciones en trabajos posteriores). En su charla de 1864 y en el artículo que le siguió, dejó atrás el modelo mecánico pero mantuvo el concepto de corriente de desplazamiento. Centrándose en las matemáticas, describió cómo la electricidad y el magnetismo están vinculados y cómo, una vez generados correctamente, se mueven de forma concertada para formar una onda electromagnética.

Este trabajo es la base de nuestra comprensión moderna del electromagnetismo, y proporciona a los físicos e ingenieros todas las herramientas que necesitan para calcular las relaciones entre las cargas, los campos eléctricos, las corrientes y los campos magnéticos.

Pero lo que debería haber sido un golpe de efecto se encontró en realidad con un escepticismo extremo, incluso por parte de los colegas más cercanos de Maxwell. Uno de los más escépticos fue Sir William Thomson (más tarde Lord Kelvin). Líder de la comunidad científica británica de la época, Thomson simplemente no creía que pudiera existir algo como la corriente de desplazamiento.

Su objeción era natural. Una cosa era pensar en una corriente de desplazamiento en un dieléctrico lleno de átomos. Otra muy distinta era imaginarla formándose en la nada del vacío. Sin un modelo mecánico que describiera este entorno y sin cargas eléctricas reales en movimiento, no estaba claro qué era la corriente de desplazamiento ni cómo podía surgir. Esta falta de un mecanismo físico desagradaba a muchos físicos de la época victoriana. Hoy en día, por supuesto, estamos dispuestos a aceptar teorías físicas, como la mecánica cuántica, que desafían nuestra intuición física cotidiana, siempre que sean matemáticamente rigurosas y tengan un gran poder de predicción.

Los contemporáneos de Maxwell percibieron otras grandes deficiencias en su teoría. Por ejemplo, Maxwell postuló que los campos eléctricos y magnéticos oscilantes forman juntos ondas, pero no describió cómo se mueven por el espacio. Todas las ondas conocidas en esa época requerían un medio en el que viajar. Las ondas sonoras viajan en el aire y en el agua. Así que si las ondas electromagnéticas existían, los físicos de la época razonaron que debía haber un medio para transportarlas, aunque ese medio no pudiera verse, saberse o tocarse.

Maxwell también creía en ese medio, o éter. Esperaba que llenara todo el espacio y que el comportamiento electromagnético fuera el resultado de las tensiones, los esfuerzos y los movimientos en este éter. Pero en 1865, y en su posterior Tratado de Electricidad y Magnetismo en dos volúmenes, Maxwell presentó sus ecuaciones sin ningún modelo mecánico que justificara cómo o por qué podían propagarse estas místicas ondas electromagnéticas. Para muchos de sus contemporáneos, esta falta de modelo hizo que la teoría de Maxwell pareciera gravemente incompleta.

Quizás lo más importante es que la propia descripción de Maxwell de su teoría era asombrosamente complicada. Los estudiantes universitarios pueden saludar con terror las cuatro ecuaciones de Maxwell, pero la formulación de Maxwell era mucho más complicada. Para escribir las ecuaciones de forma económica, necesitamos unas matemáticas que no estaban totalmente maduras cuando Maxwell realizaba su trabajo. En concreto, necesitamos el cálculo vectorial, una forma de codificar de forma compacta las ecuaciones diferenciales de los vectores en tres dimensiones.

La teoría de Maxwell hoy se puede resumir en cuatro ecuaciones. Pero su formulación tomó la forma de 20 ecuaciones simultáneas, con 20 variables. Los componentes dimensionales de sus ecuaciones (las direcciones x, y y z) tenían que ser explicados por separado. Y empleó algunas variables contraintuitivas. Hoy estamos acostumbrados a pensar y trabajar con campos eléctricos y magnéticos. Pero Maxwell trabajó principalmente con otro tipo de campo, una cantidad que llamó momento electromagnético, a partir del cual calcularía los campos eléctricos y magnéticos que Faraday imaginó por primera vez. Es posible que Maxwell haya elegido ese nombre para el campo -hoy conocido como potencial vectorial magnético- porque su derivada con respecto al tiempo produce una fuerza eléctrica. Pero el potencial no nos hace ningún favor a la hora de calcular un montón de comportamientos electromagnéticos sencillos en las fronteras, como por ejemplo la forma en que las ondas electromagnéticas se reflejan en una superficie conductora.

El resultado neto de toda esta complejidad es que cuando la teoría de Maxwell hizo su debut, casi nadie le prestó atención.

Pero unas pocas personas sí. Y una de ellas fue Oliver Heaviside. Una vez descrito por un amigo como una «rareza de primer orden», Heaviside, que se crió en la extrema pobreza y era parcialmente sordo, nunca asistió a la universidad. En cambio, aprendió por sí mismo ciencias y matemáticas avanzadas.

Heaviside tenía poco más de 20 años y trabajaba como telegrafista en Newcastle, en el noreste de Inglaterra, cuando obtuvo el Tratado de Maxwell de 1873. «Vi que era grande, más grande y más grande», escribió más tarde. «Estaba decidido a dominar el libro y me puse a trabajar». Al año siguiente, dejó su trabajo y se mudó con sus padres para aprender de Maxwell.

Fue Heaviside, trabajando en gran parte en reclusión, quien puso las ecuaciones de Maxwell en su forma actual. En el verano de 1884, Heaviside estaba investigando cómo la energía se movía de un lugar a otro en un circuito eléctrico. Esa energía, se preguntaba, ¿es transportada por la corriente en un cable o en el campo electromagnético que lo rodea?

Heaviside acabó reproduciendo un resultado que ya había sido publicado por otro físico británico, John Henry Poynting. Pero siguió avanzando, y en el proceso de trabajar con el complicado cálculo vectorial, dio con una forma de reformular la veintena de ecuaciones de Maxwell en las cuatro que usamos hoy.

La clave era eliminar el extraño potencial vectorial magnético de Maxwell. «Nunca hice ningún progreso hasta que tiré todos los potenciales por la borda», dijo más tarde Heaviside. En su lugar, la nueva formulación colocó los campos eléctrico y magnético en el centro y al frente.

Una de las consecuencias del trabajo fue que expuso la hermosa simetría de las ecuaciones de Maxwell. Una de las cuatro ecuaciones describe cómo un campo magnético cambiante crea un campo eléctrico (el descubrimiento de Faraday), y otra describe cómo un campo eléctrico cambiante crea un campo magnético (la famosa corriente de desplazamiento, añadida por Maxwell).

Esta formulación también expuso un misterio. Las cargas eléctricas, como los electrones y los iones, tienen líneas de campo eléctrico a su alrededor que irradian desde la carga. Pero no hay ninguna fuente de líneas de campo magnético: En nuestro universo conocido, las líneas de campo magnético son siempre bucles continuos, sin principio ni fin.

Esta asimetría preocupó a Heaviside, por lo que añadió un término que representaba una «carga» magnética, asumiendo que simplemente no se había descubierto todavía. Y, de hecho, aún no lo ha hecho. Desde entonces, los físicos han llevado a cabo extensas búsquedas de tales cargas magnéticas, también llamadas monopolos magnéticos. Pero nunca se han encontrado.

Aún así, la corriente magnética es un artificio útil para resolver problemas electromagnéticos con algunos tipos de geometrías, como el comportamiento de la radiación que se mueve a través de una rendija en una lámina conductora.

Si Heaviside modificó las ecuaciones de Maxwell hasta este punto, ¿por qué no las llamamos ecuaciones de Heaviside? El propio Heaviside respondió a esta pregunta en 1893 en el prefacio del primer volumen de su publicación en tres volúmenes, Teoría Electromagnética. Escribió que si tenemos buenas razones «para creer que habría admitido la necesidad del cambio cuando se le señaló, entonces creo que la teoría modificada resultante bien puede llamarse de Maxwell»

La elegancia matemática era una cosa. Pero encontrar pruebas experimentales de la teoría de Maxwell era otra cosa. Cuando Maxwell falleció en 1879, a la edad de 48 años, su teoría todavía se consideraba incompleta. No había pruebas empíricas de que la luz estuviera compuesta por ondas electromagnéticas, aparte del hecho de que la velocidad de la luz visible y la de la radiación electromagnética parecían coincidir. Además, Maxwell no abordó específicamente muchas de las cualidades que debería tener la radiación electromagnética si compone la luz, a saber, comportamientos como la reflexión y la refracción.

Los físicos George Francis FitzGerald y Oliver Lodge trabajaron para reforzar el vínculo con la luz. Proponentes del Tratado de Maxwell de 1873, ambos se conocieron el año anterior a la muerte de Maxwell en una reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia en Dublín, y empezaron a colaborar, en gran parte mediante el intercambio de cartas. Su correspondencia entre ellos y con Heaviside ayudó a avanzar en la comprensión teórica de la teoría de Maxwell.

Como el historiador Hunt esboza en su libro, The Maxwellians, Lodge y FitzGerald también esperaban encontrar pruebas experimentales para apoyar la idea de que la luz es una onda electromagnética. Pero aquí no tuvieron mucho éxito. A finales de la década de 1870, Lodge desarrolló unos circuitos que esperaba fueran capaces de convertir la electricidad de baja frecuencia en luz de alta frecuencia, pero el esfuerzo se esfumó cuando Lodge y FitzGerald se dieron cuenta de que sus esquemas crearían una radiación de frecuencia demasiado baja para ser detectada por el ojo.

Casi una década más tarde, Lodge estaba realizando experimentos sobre la protección contra los rayos cuando observó que la descarga de condensadores a lo largo de los cables producía arcos. Curioso, cambió la longitud de los cables y descubrió que podía realizar chispas espectaculares. Dedujo correctamente que se trataba de la acción de una onda electromagnética en resonancia. Descubrió que, con suficiente potencia, podía ver cómo el aire se ionizaba alrededor de los cables, una dramática ilustración de una onda estacionaria.

Ahora que estaba seguro de que generaba y detectaba ondas electromagnéticas, Lodge planeaba informar de sus asombrosos resultados en una reunión de la Asociación Británica, justo después de regresar de unas vacaciones en los Alpes. Pero mientras leía un diario en el tren que salía de Liverpool, descubrió que le habían engañado. En el número de julio de 1888 de Annalen der Physik, encontró un artículo titulado «Über elektrodynamische Wellen im Luftraum und deren Reflexion» («Sobre las ondas electrodinámicas en el aire y su reflexión») escrito por un investigador alemán poco conocido, Heinrich Hertz.

El trabajo experimental de Hertz sobre el tema comenzó en la Technische Hochschule (actual Instituto Tecnológico de Karlsruhe) en Karlsruhe, Alemania, en 1886. Observó que ocurría algo curioso cuando descargaba un condensador a través de un bucle de cable. Un bucle idéntico situado a poca distancia desarrollaba arcos a través de sus terminales no conectados. Hertz reconoció que las chispas en la espira no conectada se debían a la recepción de ondas electromagnéticas que había generado la espira con el condensador descargado.

Inspirado, Hertz utilizó las chispas en dichas espiras para detectar ondas de radiofrecuencia invisibles. A continuación, llevó a cabo experimentos para comprobar que las ondas electromagnéticas presentan comportamientos similares a los de la luz: reflexión, refracción, difracción y polarización. Realizó multitud de experimentos tanto en el espacio libre como a lo largo de cables. Moldeó un prisma de un metro de largo hecho de asfalto que era transparente a las ondas de radio y lo utilizó para observar ejemplos de reflexión y refracción a escala relativamente grande. Lanzó ondas de radio hacia una rejilla de cables paralelos y demostró que se reflejaban o atravesaban la rejilla en función de su orientación. Esto demostró que las ondas electromagnéticas eran transversales: Oscilan, al igual que la luz, en una dirección perpendicular a la de su propagación. Hertz también reflejó las ondas de radio en una gran lámina de zinc y midió la distancia entre los nulos cancelados en las ondas estacionarias resultantes para determinar su longitud de onda.

Con estos datos -junto con la frecuencia de la radiación, que calculó midiendo la capacitancia y la inductancia de su antena transmisora en forma de circuito- Hertz pudo calcular la velocidad de sus ondas invisibles, que era bastante cercana a la conocida para la luz visible.

Maxwell había postulado que la luz era una onda electromagnética. Hertz demostró que probablemente había todo un universo de ondas electromagnéticas invisibles que se comportan igual que la luz visible y que se mueven por el espacio a la misma velocidad. Esta revelación bastó, por inferencia, para que muchos aceptaran que la propia luz es una onda electromagnética.

La decepción de Lodge por haber sido adelantado quedó más que compensada por la belleza y la exhaustividad del trabajo de Hertz. Lodge y FitzGerald trabajaron para popularizar los hallazgos de Hertz, presentándolos ante la Asociación Británica. Casi inmediatamente, el trabajo de Hertz pasó a informar el desarrollo de la telegrafía inalámbrica. Las primeras encarnaciones de la tecnología empleaban transmisores muy parecidos a los dispositivos de chispa de banda ancha que utilizaba Hertz.

Con el tiempo, los científicos aceptaron que las ondas podían viajar a través de la nada. Y el concepto de campo, al principio desagradable porque carecía de partes mecánicas para hacerlo funcionar, se convirtió en el centro de gran parte de la física moderna.

Había mucho más por venir. Pero incluso antes de que terminara el siglo XIX, gracias a los esfuerzos tenaces de unos pocos entusiastas dedicados, el legado de Maxwell estaba asegurado.

Acerca del autor

James C. Rautio es el fundador de Sonnet Software.