Escalar (matemáticas)
Escalares de espacios vectorialesEditar
Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y una operación de multiplicación escalar que lleva un escalar k y un vector v a otro vector kv. Por ejemplo, en un espacio de coordenadas, la multiplicación escalar k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}.
produce ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
. En un espacio de funciones (lineales), kƒ es la función x ↦ k(ƒ(x)).
Los escalares pueden tomarse de cualquier campo, incluyendo los números racionales, algebraicos, reales y complejos, así como campos finitos.
Escalares como componentes vectorialesEditar
De acuerdo con un teorema fundamental del álgebra lineal, todo espacio vectorial tiene una base. Se deduce que todo espacio vectorial sobre un campo escalar K es isomorfo a un espacio vectorial de coordenadas donde las coordenadas son elementos de K. Por ejemplo, todo espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio real n-dimensional Rn.
Escalares en espacios vectoriales normadosEditar
Alternativamente, un espacio vectorial V puede estar dotado de una función de norma que asigna a cada vector en V un escalar ||v||. Por definición, multiplicar v por un escalar k también multiplica su norma por |k|. Si ||v|| se interpreta como la longitud de v, esta operación puede describirse como el escalado de la longitud de v por k. Un espacio vectorial dotado de una norma se denomina espacio vectorial normado (o espacio lineal normado).
La norma suele definirse como un elemento del campo escalar K de V, lo que restringe este último a los campos que admiten la noción de signo. Además, si V tiene dimensión 2 o más, K debe ser cerrado bajo raíz cuadrada, así como las cuatro operaciones aritméticas; por lo tanto, los números racionales Q están excluidos, pero el campo surd es aceptable. Por esta razón, no todo espacio de producto escalar es un espacio vectorial normado.
Escalares en módulosEditar
Cuando el requisito de que el conjunto de escalares forme un campo se relaja de modo que sólo tiene que formar un anillo (de modo que, por ejemplo, la división de escalares no tiene que estar definida, o los escalares no tienen que ser conmutativos), la estructura algebraica resultante más general se llama módulo.
En este caso los «escalares» pueden ser objetos complicados. Por ejemplo, si R es un anillo, los vectores del espacio producto Rn pueden convertirse en un módulo con las matrices n×n con entradas de R como escalares. Otro ejemplo proviene de la teoría de los colectores, donde el espacio de secciones del haz tangente forma un módulo sobre el álgebra de funciones reales sobre el colector.
Transformación de escalaEditar
La multiplicación escalar de espacios vectoriales y módulos es un caso especial de escala, un tipo de transformación lineal.
Operaciones escalares (informática)Editar
Operaciones que se aplican a un solo valor a la vez.
- Procesador escalar frente a procesador vectorial o procesador superescalar
- Variable (informática) a veces también denominada «escalar»
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