Física

Ejemplo 1. Cálculo de velocidades tras una colisión elástica

Calcule las velocidades de dos objetos tras una colisión elástica, dado que m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s, y v2 = 0.

Estrategia y concepto

Primero, visualice lo que significan las condiciones iniciales: un objeto pequeño choca contra otro más grande que inicialmente está en reposo. Esta situación es ligeramente más sencilla que la situación mostrada en la figura 1, en la que ambos objetos están inicialmente en movimiento. Se nos pide que encontremos dos incógnitas (las velocidades finales v′1 y v′2). Para encontrar dos incógnitas, debemos utilizar dos ecuaciones independientes. Como esta colisión es elástica, podemos utilizar las dos ecuaciones anteriores. Ambas pueden simplificarse por el hecho de que el objeto 2 está inicialmente en reposo, y por tanto v2=0. Una vez que simplificamos estas ecuaciones, las combinamos algebraicamente para resolver las incógnitas.

Solución

Para este problema, observa que v2=0 y utiliza la conservación del momento. Así,

p1 = p′1 + p′2 o m1v1=m1v′1+m2v′2.

Utilizando la conservación de la energía cinética interna y que v2=0,

rac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2\

Resolviendo la primera ecuación (ecuación del momento) para v′2, obtenemos

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\frac(v_1-v′_1\frac)\frac.

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación (ecuación de la energía cinética interna) se elimina la variable v′2, dejando sólo v′1 como incógnita (el álgebra se deja como ejercicio para el lector). Hay dos soluciones para cualquier ecuación cuadrática; en este ejemplo, son

v′1 = 4 . 00 m/s y v′1=-3,00 m/s.

Como se observó cuando se encontraron ecuaciones cuadráticas en capítulos anteriores, ambas soluciones pueden o no ser significativas. En este caso, la primera solución es la misma que la condición inicial. Por tanto, la primera solución representa la situación antes de la colisión y se descarta. La segunda solución (v′1=-3,00 m/s) es negativa, lo que significa que el primer objeto rebota hacia atrás. Cuando este valor negativo de v′1 se utiliza para encontrar la velocidad del segundo objeto después de la colisión, obtenemos

v′_2=\frac{m_1}{m_2}left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500{text{kg}}{3,50{text{kg}}left{text{m/s}}{/p>

o

v′2=1,00 m/s.

Discusión

El resultado de este ejemplo es intuitivamente razonable. Un objeto pequeño golpea a otro más grande en reposo y rebota hacia atrás. El más grande es golpeado hacia adelante, pero con una velocidad baja. (Esto es como si un coche compacto rebotara hacia atrás contra un todoterreno de gran tamaño que está inicialmente en reposo). Como comprobación, intenta calcular la energía cinética interna antes y después de la colisión. Verá que la energía cinética interna no cambia a 4,00 J. Compruebe también el momento total antes y después de la colisión; encontrará que también no cambia.

Las ecuaciones de conservación del momento y de la energía cinética interna, tal como están escritas, pueden utilizarse para describir cualquier colisión elástica unidimensional de dos objetos. Estas ecuaciones pueden extenderse a más objetos si es necesario.