Razones y proporciones y cómo resolverlas

Hablemos de razones y proporciones. Cuando hablamos de la velocidad de un coche o un avión la medimos en millas por hora. Esto se llama tasa y es un tipo de proporción. Una proporción es una forma de comparar dos cantidades utilizando la división como en las millas por hora donde comparamos millas y horas.

Una proporción se puede escribir de tres formas diferentes y todas se leen como «la razón de x a y»

$$x: a: y$$

$x:y$$

$$$frac{x}{y}$

Una proporción por otro lado es una ecuación que dice que dos proporciones son equivalentes. Por ejemplo, si un paquete de mezcla para galletas da como resultado 20 galletas, sería lo mismo que decir que dos paquetes darán como resultado 40 galletas.

$$\frac{20}{1}=\frac{40}{2}$

Una proporción se lee como «x es a y como z es a w»

$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \cdot }}, \frac{x}{100}={color{verde} {100, \cdot }}, \frac{2}{20}$$

$x=\frac{200}{20}$

Si el número desconocido está en el denominador podemos utilizar otro método que implica el producto cruzado. El producto cruzado es el producto del numerador de una de las proporciones por el denominador de la segunda proporción. El producto cruzado de una proporción es siempre igual

Si volvemos a utilizar el ejemplo con la mezcla de galletas utilizada anteriormente

$$ {frac{{color{verde}} {20}}{color{azul}{1}}={frac{{color{azul}}} {40}}{{color verde}{2}}$

${color azul}{1}{cdot}{color azul}{40}}={color verde}{2}{cdot}{20}=40$$

Se dice que en una proporción si

${frac{x}{y}={frac{z}{w} \N donde: y,w\neq 0$$

$$xw=yz$$

Si miras un mapa siempre te dice en una de las esquinas que 1 pulgada del mapa corresponde a una distancia mucho mayor en la realidad. A esto se le llama escalado. A menudo utilizamos el escalado para representar diversos objetos. El escalado consiste en recrear un modelo del objeto y compartir sus proporciones, pero con un tamaño diferente. Se puede aumentar (ampliar) o disminuir (reducir) la escala. Por ejemplo, la escala de 1:4 representa una cuarta parte. Así, cualquier medida que veamos en el modelo sería 1/4 de la medida real. Si queremos calcular la inversa, donde tenemos un muro de 6 metros de altura y queremos reproducirlo a escala 1:4, simplemente calculamos:

$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$

En un modelo a escala 1:X donde X es una constante, todas las medidas se convierten en 1/X – de la medida real. La misma matemática se aplica cuando queremos ampliar. Al representar algo a escala 2:1 todas las medidas se convierten en el doble de la realidad. Dividimos por 2 cuando queremos encontrar la medida real.

Lección de vídeo

Encuentra x

$$\frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$