The Distance Formula
= √(x – a)² + (y – b)²
As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be
| dist((2, -1), (-2, 2)) | = √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)² | |
| = √(2 + 2)² + (-1 – 2)² | ||
| = √(4)² + (-3)² | ||
| = √16 + 9 | ||
| = √25 | ||
| = 5. |
The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram
The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Con este pequeño añadido obtenemos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es (hipotenusa)² = 3² + 4². Lo que da como resultado que la longitud de la hipotenusa es 5, igual que la distancia entre los dos puntos según la fórmula de la distancia. Por supuesto, esto es siempre así: el segmento de recta cuya longitud se toma como la distancia entre sus puntos extremos sirve siempre como hipotenusa de un triángulo rectángulo (de hecho, de infinitos. Sólo elegimos el más conveniente.)
¿Cómo de buena es la fórmula de la distancia (euclidiana) para medir distancias reales? Esto depende de las circunstancias. En el plano -ya que la Tierra es redonda, esto significa dentro de áreas relativamente pequeñas de la superficie terrestre- es bastante buena, siempre que la distancia sea exactamente la que se quiere estimar. Si la pregunta es a qué velocidad se puede llegar de un punto a otro moviéndose a una velocidad determinada, la fórmula euclidiana puede no ser muy útil para dar la respuesta. De hecho, en una ciudad -por poner un ejemplo- a menudo es imposible ir de un punto a otro en línea recta. Hay que tener en cuenta los edificios, las calles llenas de tráfico, las vallas y demás. En una ciudad, a menudo se encuentra que la fórmula de la distancia del taxi
dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|
es más útil. En matemáticas, la distancia euclidiana es la más fundamental. Como muestra una de las demostraciones mecánicas del teorema de Pitágoras, lo mismo ocurre en física, aunque en cualquiera de las dos ciencias no es la única fórmula de distancia que se utiliza.
Distancia entre taxis y manzanas.
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