Combien est votre score au bowling?
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« Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions, et si vous n’utilisez que vos décisions. » Depuis 2007, je consacre ma vie à partager la joie de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions compte désormais plus de 1 000 articles gratuits et sans publicité grâce au soutien de la communauté ! Aidez-nous et obtenez un accès anticipé aux articles avec une promesse de don sur Patreon.
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J’ai habituellement un score au bowling autour de 130, mais l’autre jour, j’ai réussi six strikes et j’ai fini avec 215.
J’ai pris un moment pour me délecter de ce score élevé, mais j’ai ensuite eu une réflexion plus critique. J’étais curieux de savoir à quel point ce score était bon au sens statistique.
J’étais avec des amis férus de mathématiques et notre discussion a suscité de nombreuses questions.
Combien de jeux de bowling différents sont possibles ? Quel est le score moyen au bowling ? De combien de façons pouvez-vous atteindre chaque score au bowling (quelle est la distribution des scores au bowling) ?
J’ai fait quelques recherches et j’ai été heureux d’apprendre que des gens ont déjà fait des maths pour répondre à ces questions. Voici une partie des mathématiques intéressantes.
Écrire un jeu de bowling en termes mathématiques
La première étape du problème consiste à traduire un jeu de bowling en mathématiques. L’idée est de développer une notation courte pour décrire de manière compacte le jeu. Je vais suivre la notation développée dans cet article « Is the Mean Bowling Score Awful »
Considérons la toute première trame d’un jeu. Quels sont les résultats possibles lorsque vous lancez la boule ?
Une possibilité est que vous fassiez tomber les 10 quilles avec un strike et la première frame se termine.
L’autre possibilité est que vous ne fassiez pas tomber les 10 quilles. Vous avez alors une deuxième chance d’abattre les quilles restantes. Si vous abattez les quilles restantes, c’est un spare.
Mathématiquement, nous pouvons modéliser les boules comme un ensemble de deux nombres : le nombre de quilles abattues au premier lancer, et le nombre au second. Nous pouvons écrire cela comme un ensemble ordonné (premier lancer, deuxième lancer) = (x , y).
Si vous faites tomber 3 quilles et ensuite 4, l’ensemble est (3, 4). Ou si vous faites tomber 3 puis 7 pour faire une réserve, cela s’écrira (3,7)
Dans un strike, vous faites tomber les 10 quilles et vous n’avez pas droit à un deuxième lancer. Nous pouvons écrire ce cas particulier comme (10, 0) en comprenant que vous n’avez jamais réellement fait un deuxième lancer.
Avec cette notation, nous pouvons décrire de manière compacte les résultats possibles dans la première image. Les résultats peuvent être écrits comme une paire ordonnée de deux nombres, où les deux nombres sont nuls ou positifs, et où la somme des deux nombres est au plus égale à 10 – puisque le maximum que vous pouvez abattre dans un cadre est de 10 quilles.
En notation ensembliste, cela s’écrit
Les neuf premières frames du jeu fonctionnent de la même manière.
La dixième frame du jeu est légèrement différente. Si vous obtenez un strike au premier lancer, ou un spare au deuxième lancer, vous avez le droit d’effectuer un troisième lancer bonus à la dixième frame. Par conséquent, la dixième frame doit être représentée par trois nombres, avec des relations spéciales selon qu’un strike ou un spare est fait.
Il y a quatre possibilités différentes :
-Deux lancers sont faits, moins de 10 sont renversés (pas de troisième lancer)
-Le deuxième lancer fait un spare
-Le premier lancer est un strike mais le deuxième ne l’est pas
-Deux strikes sont faits
La notation se complique, mais essentiellement c’est la façon dont vous écririez ces quatre possibilités en notation d’ensemble. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Puis on multiplie le nombre de façons pour obtenir le nombre total de parties.
L’ensemble A est le nombre de façons dont la somme de deux nombres entiers positifs est inférieure ou égale à 10. C’est un problème classique de combinatoire.
Il existe une façon astucieuse de compter le nombre de solutions. J’ai trouvé une dérivation via Google Books pour trouver le nombre de façons dont n entiers non négatifs s’additionnent à un entier r :
Lien vers la page 46 de Principles and techniques in combinatorics chez Google Books
La formule est C(r + n -1, r)
Dans notre jeu de quilles, nous voulons trouver la façon dont deux nombres (n = 2) s’additionnent à 10 ou moins (r = 10, 9, 8, …, 0).
Nous voulons calculer la formule pour chaque valeur de r et ensuite les additionner. C’est moins de travail qu’il n’y paraît.
Pour r = 10, nous voyons que la formule est C(11, 10) qui vaut 11. Pour r = 9, la formule devient C(10, 9) qui vaut 10. Le schéma se poursuit pour les valeurs inférieures de r, si bien qu’au final, nous voulons additionner 11 + 10 + 9 + … 1.
Ceci se calcule facilement en 66. Il y a donc 66 façons pour chacune des neuf premières images.
Nous voulons maintenant connaître le nombre de façons pour la dixième image.
Le processus est le même que précédemment. J’épargnerai les détails sanglants sur celui-ci et je dirai simplement que la réponse est 241.
Nous pouvons maintenant calculer le nombre total de parties de bowling en multipliant les nombres entre eux.
Le nombre total de parties de bowling est (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), soit environ 5.7 x 1018
Ce n’est pas du tout proche du nombre de parties d’échecs possibles, mais c’est quand même un très grand nombre.
Pour mettre cela en perspective, il faudrait au monde entier (6,7 x 109), jouant un jeu chaque jour, plus de 2,3 millions d’années pour jouer à autant de jeux différents.
Quel est le score moyen au bowling ?
Cette partie devient encore plus compliquée mathématiquement.
L’astuce consiste à convertir les jeux en scores, en se basant sur les règles spéciales pour les spares (bonus du prochain lancer) et les strikes (bonus des deux prochains lancers).
On peut alors calculer la moyenne en additionnant tous les scores possibles par le nombre de parties, qui a été dérivé précédemment.
Le score moyen au bowling s’avère être d’environ 80 (ou pour être précis, plutôt 79.7).
Prenez cela comme une assurance que même un score modeste comme 100 est supérieur à la moyenne !
Les détails de la dérivation sont expliqués dans l’extrait suivant :
Lien vers Mean bowling score at Google Books
L’article est daté car il se termine en laissant une question ouverte de détermination de la distribution complète des scores de bowling. Cela a en fait été fait.
Quelle est la distribution des scores au bowling ?
La question finale et vraiment difficile est de trouver la distribution du bowling.
C’est-à-dire, pour chaque score n, quel est le nombre de façons s(n) d’obtenir ce score.
Il y a des cas où la réponse est évidente. Il n’y a qu’une seule façon d’obtenir un score de 0, comme il n’y a qu’une seule façon d’obtenir un score de 300, ou 299, ou 298, et ainsi de suite jusqu’à 291.
Les autres cas sont plus compliqués à déterminer. Il y a 20 façons de marquer 1, et il y a 11 façons de marquer 290.
Pour comprendre l’ensemble de la distribution, il faut faire des calculs astucieux. Les résultats sont décrits dans cette merveilleuse page web qui contient le joli graphique suivant :
Source de l’image : all about bowling scores
Notez que les scores de bowling sont fortement asymétriques ! Les scores supérieurs à 120 sont moins probables, car ils nécessitent qu’un joueur obtienne un nombre raisonnable de spares et de strikes.
Une autre façon de voir les choses est que même un score modeste de 115 se situe dans le 99e percentile.
Rappellez-vous cela la prochaine fois que vous jouerez au bowling. Compte tenu de la gamme des scores possibles au bowling, votre score est probablement meilleur que vous ne le pensez !
(Les percentiles changeront si nous basons la distribution sur des données réelles du bowling. Malheureusement, je n’ai pas pu trouver de statistiques à ce sujet.)