Le long chemin vers les équations de Maxwell

Si vous souhaitez rendre hommage au grand physicien James Clerk Maxwell, vous ne manquerez pas de lieux pour le faire. Une plaque commémorative se trouve dans l’abbaye de Westminster à Londres, non loin de la tombe d’Isaac Newton. Une magnifique statue a récemment été installée à Édimbourg, près de sa ville natale. Vous pouvez également rendre hommage à sa dernière demeure près de Castle Douglas, dans le sud-ouest de l’Écosse, à quelques kilomètres de son domaine ancestral bien-aimé. Ce sont des monuments appropriés pour la personne qui a développé la première théorie unifiée de la physique, qui a montré que l’électricité et le magnétisme sont intimement liés.

Mais ce que ces repères ne reflètent pas, c’est le fait qu’au moment de la mort de Maxwell en 1879, sa théorie électromagnétique – qui sous-tend une si grande partie de notre monde technologique moderne – n’était pas encore sur des bases solides.

Une quantité extraordinaire d’informations sur le monde – les règles de base selon lesquelles la lumière se comporte, le courant circule et le magnétisme fonctionne – peuvent être ramenées à quatre équations élégantes. Aujourd’hui, celles-ci sont connues collectivement sous le nom d’équations de Maxwell, et on les trouve dans à peu près tous les manuels d’introduction à l’ingénierie et à la physique.

On pourrait soutenir que ces équations ont fait leurs débuts il y a 150 ans ce mois-ci, lorsque Maxwell a présenté sa théorie unissant l’électricité et le magnétisme devant la Royal Society de Londres, publiant un rapport complet l’année suivante, en 1865. C’est ce travail qui a préparé le terrain pour toutes les grandes réalisations en physique, en télécommunications et en génie électrique qui allaient suivre.

Mais il y avait un long écart entre la présentation et l’utilisation. Les fondements mathématiques et conceptuels de la théorie de Maxwell étaient si compliqués et contre-intuitifs que sa théorie a été largement négligée après son introduction.

Il a fallu près de 25 ans à un petit groupe de physiciens, eux-mêmes obsédés par les mystères de l’électricité et du magnétisme, pour mettre la théorie de Maxwell sur des bases solides. Ce sont eux qui ont rassemblé les preuves expérimentales nécessaires pour confirmer que la lumière est constituée d’ondes électromagnétiques. Et ce sont eux qui ont donné à ses équations leur forme actuelle. Sans les efforts herculéens de ce groupe de « Maxwelliens », ainsi nommés par l’historien Bruce J. Hunt, de l’université du Texas à Austin, il aurait peut-être fallu des décennies de plus pour que notre conception moderne de l’électricité et du magnétisme soit largement adoptée. Et cela aurait retardé toute l’incroyable science et technologie qui allait suivre.

Aujourd’hui, nous apprenons très tôt que la lumière visible n’est qu’un morceau du large spectre électromagnétique, dont le rayonnement est constitué de champs électriques et magnétiques oscillants. Et nous apprenons que l’électricité et le magnétisme sont inextricablement liés ; un champ magnétique changeant crée un champ électrique, et le courant et les champs électriques changeants donnent naissance aux champs magnétiques.

Nous devons remercier Maxwell pour ces connaissances de base. Mais elles ne lui sont pas apparues soudainement et de nulle part. Les preuves dont il avait besoin sont arrivées par bribes, au cours de plus de 50 ans.

On peut démarrer l’horloge en 1800, lorsque le physicien Alessandro Volta rapporte l’invention d’une batterie, qui a permis aux expérimentateurs de commencer à travailler avec un courant continu. Une vingtaine d’années plus tard, Hans Christian Ørsted obtient la première preuve d’un lien entre l’électricité et le magnétisme, en démontrant que l’aiguille d’une boussole se déplace lorsqu’elle est approchée d’un fil conducteur de courant. Peu de temps après, André-Marie Ampère montre que deux fils conducteurs parallèles peuvent présenter une attraction ou une répulsion mutuelle en fonction de la direction relative des courants. Et au début des années 1830, Michael Faraday avait montré que, tout comme l’électricité pouvait influencer le comportement d’un aimant, un aimant pouvait affecter l’électricité, lorsqu’il a montré que le fait de tirer un aimant à travers une boucle de fil pouvait générer du courant.

Ces observations étaient des preuves fragmentaires d’un comportement que personne ne comprenait vraiment de manière systématique ou complète. Qu’était réellement le courant électrique ? Comment un fil porteur de courant tendait-il la main et tordait-il un aimant ? Et comment un aimant en mouvement créait-il du courant ?

Une graine importante a été plantée par Faraday, qui a imaginé un  » état électrotonique  » mystérieux et invisible entourant l’aimant – ce que nous appellerions aujourd’hui un champ. Il a postulé que les changements dans cet état électrotonique sont à l’origine des phénomènes électromagnétiques. Et Faraday a émis l’hypothèse que la lumière elle-même était une onde électromagnétique. Mais la transformation de ces idées en une théorie complète dépassait ses capacités mathématiques. Tel était l’état des choses lorsque Maxwell est entré en scène.

Dans les années 1850, après avoir obtenu son diplôme de l’université de Cambridge, en Angleterre, Maxwell s’est mis à essayer de donner un sens mathématique aux observations et aux théories de Faraday. Dans sa première tentative, un article de 1855 intitulé « On Faraday’s Lines of Force », Maxwell a conçu un modèle par analogie, montrant que les équations qui décrivent l’écoulement incompressible des fluides pouvaient également être utilisées pour résoudre des problèmes de champs électriques ou magnétiques immuables.

Son travail a été interrompu par une rafale de distractions. Il prit un poste en 1856 au Marischal College, à Aberdeen, en Écosse ; consacra plusieurs années à une étude mathématique de la stabilité des anneaux de Saturne ; fut licencié lors d’une fusion de collèges en 1860 ; et contracta la variole et faillit mourir avant de prendre enfin un nouveau poste, comme professeur au King’s College de Londres.

D’une manière ou d’une autre, dans tout cela, Maxwell trouva le temps d’étoffer la théorie du champ de Faraday. Bien qu’il ne s’agisse pas encore d’une théorie complète de l’électromagnétisme, un article qu’il a publié en plusieurs parties en 1861 et 1862 s’est avéré être un important tremplin.

S’appuyant sur des idées antérieures, Maxwell a imaginé une sorte de milieu moléculaire dans lequel les champs magnétiques sont des réseaux de vortex tournoyants. Chacun de ces tourbillons est entouré de petites particules d’une certaine forme qui aident à transporter le spin d’un tourbillon à l’autre. Bien qu’il l’ait abandonnée par la suite, Maxwell a constaté que cette vision mécanique permettait de décrire toute une série de phénomènes électromagnétiques. Peut-être de manière plus cruciale, il a jeté les bases d’un nouveau concept physique : le courant de déplacement.

Le courant de déplacement n’est pas vraiment un courant. C’est une façon de décrire comment la variation du champ électrique traversant une zone particulière peut donner naissance à un champ magnétique, tout comme le fait un courant. Dans le modèle de Maxwell, le courant de déplacement apparaît lorsqu’une variation du champ électrique entraîne un changement momentané de la position des particules dans le milieu tourbillonnaire. Le mouvement de ces particules génère un courant.

L’une des manifestations les plus spectaculaires du courant de déplacement se trouve dans le condensateur, où, dans certains circuits, l’énergie stockée entre deux plaques d’un condensateur oscille entre des valeurs élevées et faibles. Dans ce système, il est assez facile de visualiser comment le modèle mécanique de Maxwell fonctionnerait. Si le condensateur contient un matériau isolant et diélectrique, vous pouvez considérer que le courant de déplacement provient du mouvement des électrons qui sont liés aux noyaux des atomes. Ceux-ci se balancent d’un côté à l’autre, comme s’ils étaient attachés à des élastiques tendus. Mais le courant de déplacement de Maxwell est plus fondamental que cela. Il peut apparaître dans n’importe quel milieu, y compris dans le vide spatial, où il n’y a pas d’électrons disponibles pour créer un courant. Et tout comme un vrai courant, il donne naissance à un champ magnétique.

Avec l’ajout de ce concept, Maxwell disposait des éléments de base dont il avait besoin pour relier les propriétés mesurables des circuits à deux constantes, aujourd’hui hors d’usage, qui expriment la facilité avec laquelle les champs électriques et magnétiques se forment en réponse à une tension ou à un courant. (De nos jours, nous formulons ces constantes fondamentales différemment, comme la permittivité et la perméabilité de l’espace libre.)

De même que la constante de ressort détermine la rapidité avec laquelle un ressort rebondit après avoir été étiré ou comprimé, ces constantes peuvent être combinées pour déterminer la vitesse à laquelle une onde électromagnétique se déplace dans l’espace libre. Après que d’autres aient déterminé leurs valeurs à l’aide d’expériences sur des condensateurs et des inductances, Maxwell a pu estimer la vitesse d’une onde électromagnétique dans le vide. Lorsqu’il a comparé cette valeur aux estimations existantes de la vitesse de la lumière, il a conclu de leur quasi-égalité que la lumière devait être une onde électromagnétique.

Maxwell a achevé les dernières pièces clés de sa théorie électromagnétique en 1864, alors qu’il avait 33 ans (bien qu’il ait fait quelques simplifications dans des travaux ultérieurs). Dans son exposé de 1864 et dans le document qui a suivi, il a laissé de côté le modèle mécanique mais a conservé le concept de courant de déplacement. Se concentrant sur les mathématiques, il a décrit comment l’électricité et le magnétisme sont liés et comment, une fois correctement générés, ils se déplacent de concert pour former une onde électromagnétique.

Ces travaux constituent le fondement de notre compréhension moderne de l’électromagnétisme, et ils fournissent aux physiciens et aux ingénieurs tous les outils dont ils ont besoin pour calculer les relations entre les charges, les champs électriques, les courants et les champs magnétiques.

Mais ce qui aurait dû être un coup d’éclat a en fait été accueilli avec un scepticisme extrême, même de la part des collègues les plus proches de Maxwell. L’un des sceptiques les plus virulents était Sir William Thomson (plus tard Lord Kelvin). Chef de file de la communauté scientifique britannique de l’époque, Thomson ne croyait tout simplement pas qu’une telle chose qu’un courant de déplacement puisse exister.

Son objection était naturelle. C’était une chose de penser à un courant de déplacement dans un diélectrique rempli d’atomes. C’en était une autre d’imaginer sa formation dans le néant du vide. Sans modèle mécanique pour décrire cet environnement et sans charges électriques en mouvement, il n’était pas clair ce qu’était le courant de déplacement ou comment il pouvait apparaître. Cette absence de mécanisme physique déplaisait à de nombreux physiciens de l’époque victorienne. Aujourd’hui, bien sûr, nous sommes prêts à accepter des théories physiques, comme la mécanique quantique, qui défient notre intuition physique quotidienne, tant qu’elles sont mathématiquement rigoureuses et ont un grand pouvoir prédictif.

Les contemporains de Maxwell percevaient d’autres grosses lacunes dans sa théorie. Par exemple, Maxwell a postulé que les champs électriques et magnétiques oscillants forment ensemble des ondes, mais il n’a pas décrit comment elles se déplacent dans l’espace. Toutes les ondes connues à l’époque avaient besoin d’un support pour se déplacer. Les ondes sonores se déplacent dans l’air et dans l’eau. Donc, si les ondes électromagnétiques existaient, les physiciens de l’époque raisonnaient, il devait y avoir un milieu pour les transporter, même si ce milieu ne pouvait pas être vu, goûté ou touché.

Maxwell, lui aussi, croyait en un tel milieu, ou éther. Il s’attendait à ce qu’il remplisse tout l’espace et que le comportement électromagnétique soit le résultat de contraintes, de tensions et de mouvements dans cet éther. Mais en 1865, et plus tard dans son Traité d’électricité et de magnétisme en deux volumes, Maxwell a présenté ses équations sans aucun modèle mécanique pour justifier comment ou pourquoi ces ondes électromagnétiques mystiques pouvaient se propager. Pour beaucoup de ses contemporains, cette absence de modèle faisait que la théorie de Maxwell semblait gravement incomplète.

Peut-être le plus crucial, la propre description de Maxwell de sa théorie était étonnamment compliquée. Les étudiants de collège peuvent accueillir les quatre équations de Maxwell avec terreur, mais la formulation de Maxwell était bien plus désordonnée. Pour écrire les équations de manière économique, nous avons besoin de mathématiques qui n’étaient pas tout à fait au point lorsque Maxwell menait ses travaux. Plus précisément, nous avons besoin du calcul vectoriel, une façon de codifier de manière compacte les équations différentielles des vecteurs en trois dimensions.

La théorie de Maxwell peut aujourd’hui se résumer à quatre équations. Mais sa formulation prenait la forme de 20 équations simultanées, avec 20 variables. Les composantes dimensionnelles de ses équations (les directions x, y et z) devaient être explicitées séparément. Et il a utilisé des variables contre-intuitives. Aujourd’hui, nous sommes habitués à penser et à travailler avec des champs électriques et magnétiques. Mais Maxwell travaillait principalement avec un autre type de champ, une quantité qu’il appelait momentum électromagnétique, à partir duquel il calculait ensuite les champs électriques et magnétiques imaginés par Faraday. Maxwell a peut-être choisi ce nom pour le champ – aujourd’hui appelé potentiel vectoriel magnétique – parce que sa dérivée par rapport au temps produit une force électrique. Mais le potentiel ne nous rend pas service lorsqu’il s’agit de calculer beaucoup de comportements électromagnétiques simples aux frontières, comme la façon dont les ondes électromagnétiques se réfléchissent sur une surface conductrice.

Le résultat net de toute cette complexité est que lorsque la théorie de Maxwell a fait ses débuts, presque personne n’y prêtait attention.

Mais quelques personnes le faisaient. Et l’une d’entre elles était Oliver Heaviside. Décrit un jour par un ami comme une « bizarrerie de premier ordre », Heaviside, qui a été élevé dans une extrême pauvreté et était partiellement sourd, n’a jamais fréquenté l’université. Au lieu de cela, il a enseigné lui-même les sciences et les mathématiques avancées.

Heaviside avait une vingtaine d’années et travaillait comme télégraphiste à Newcastle, dans le nord-est de l’Angleterre, lorsqu’il a obtenu le traité de Maxwell en 1873. « J’ai vu qu’il était grand, plus grand et plus grand », a-t-il écrit plus tard. « J’étais déterminé à maîtriser le livre et je me suis mis au travail ». L’année suivante, il quitta son emploi et s’installa chez ses parents pour apprendre Maxwell.

C’est Heaviside, travaillant en grande partie dans la solitude, qui mit les équations de Maxwell dans leur forme actuelle. Au cours de l’été 1884, Heaviside étudiait comment l’énergie se déplaçait d’un endroit à l’autre dans un circuit électrique. Cette énergie, se demandait-il, est-elle transportée par le courant dans un fil ou dans le champ électromagnétique qui l’entoure ?

Heaviside finit par reproduire un résultat qui avait déjà été publié par un autre physicien britannique, John Henry Poynting. Mais il a continué à pousser plus loin, et en travaillant sur le calcul vectoriel compliqué, il est tombé sur un moyen de reformuler la vingtaine d’équations de Maxwell en quatre que nous utilisons aujourd’hui.

La clé était d’éliminer l’étrange potentiel vectoriel magnétique de Maxwell. « Je n’ai jamais fait de progrès jusqu’à ce que je jette tous les potentiels par-dessus bord », dira plus tard Heaviside. La nouvelle formulation plaçait au contraire les champs électriques et magnétiques au premier plan.

L’une des conséquences de ces travaux fut d’exposer la belle symétrie des équations de Maxwell. Une des quatre équations décrit comment un champ magnétique changeant crée un champ électrique (découverte de Faraday), et une autre décrit comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique (le fameux courant de déplacement, ajouté par Maxwell).

Cette formulation a également exposé un mystère. Les charges électriques, comme les électrons et les ions, ont autour d’elles des lignes de champ électrique qui rayonnent à partir de la charge. Mais il n’y a pas de source de lignes de champ magnétique : Dans notre univers connu, les lignes de champ magnétique sont toujours des boucles continues, sans début ni fin.

Cette asymétrie a troublé Heaviside, qui a donc ajouté un terme représentant une « charge » magnétique, en supposant qu’elle n’avait tout simplement pas encore été découverte. Et en effet, elle ne l’a toujours pas été. Depuis, les physiciens ont mené des recherches approfondies pour trouver de telles charges magnétiques, également appelées monopôles magnétiques. Mais elles n’ont jamais été trouvées.

Pour autant, le courant magnétique est un artifice utile pour résoudre les problèmes électromagnétiques avec certains types de géométries, comme le comportement du rayonnement se déplaçant à travers une fente dans une feuille conductrice.

Si Heaviside a modifié les équations de Maxwell à ce point, pourquoi ne les appelons-nous pas les équations de Heaviside ? Heaviside a répondu lui-même à cette question en 1893 dans la préface du premier volume de sa publication en trois volumes, Electromagnetic Theory. Il a écrit que si nous avons de bonnes raisons « de croire qu’il aurait admis la nécessité du changement lorsqu’on le lui a fait remarquer, alors je pense que la théorie modifiée qui en résulte peut bien être appelée celle de Maxwell. »

L’élégance mathématique était une chose. Mais trouver des preuves expérimentales de la théorie de Maxwell en était une autre. Lorsque Maxwell est décédé en 1879, à l’âge de 48 ans, sa théorie était encore considérée comme incomplète. Il n’existait aucune preuve empirique que la lumière était composée d’ondes électromagnétiques, hormis le fait que la vitesse de la lumière visible et celle du rayonnement électromagnétique semblaient correspondre. En outre, Maxwell n’a pas abordé spécifiquement plusieurs des qualités que le rayonnement électromagnétique devrait avoir s’il constitue la lumière, à savoir des comportements comme la réflexion et la réfraction.

Les physiciens George Francis FitzGerald et Oliver Lodge ont travaillé à renforcer le lien avec la lumière. Partisans du traité de Maxwell de 1873, le couple s’est rencontré l’année précédant la mort de Maxwell lors d’une réunion de la British Association for the Advancement of Science à Dublin, et ils ont commencé à collaborer, en grande partie par l’échange de lettres. Leur correspondance entre eux et avec Heaviside a contribué à faire progresser la compréhension théorique de la théorie de Maxwell.

Comme l’historien Hunt le souligne dans son livre, The Maxwellians, Lodge et FitzGerald espéraient également trouver des preuves expérimentales pour soutenir l’idée que la lumière est une onde électromagnétique. Mais ici, ils n’ont pas eu beaucoup de succès. À la fin des années 1870, Lodge a développé certains circuits qu’il espérait capables de convertir l’électricité de basse fréquence en lumière de haute fréquence, mais l’effort a fait long feu lorsque Lodge et FitzGerald ont réalisé que leurs schémas créeraient un rayonnement de trop basse fréquence pour être détecté à l’œil.

Près d’une décennie plus tard, Lodge réalisait des expériences sur la protection contre la foudre lorsqu’il a remarqué que la décharge de condensateurs le long de fils produisait des arcs. Curieux, il modifia la longueur des fils et constata qu’il pouvait réaliser des étincelles spectaculaires. Il en déduisit correctement qu’il s’agissait de l’action d’une onde électromagnétique en résonance. Il a constaté qu’avec suffisamment de puissance, il pouvait effectivement voir l’air s’ioniser autour des fils, une illustration spectaculaire d’une onde stationnaire.

Désormais confiant dans le fait qu’il générait et détectait des ondes électromagnétiques, Lodge prévoyait de présenter ses résultats stupéfiants lors d’une réunion de l’Association britannique, juste après son retour de vacances dans les Alpes. Mais en lisant un journal dans le train de Liverpool, il a découvert qu’il avait été scoop. Dans le numéro de juillet 1888 des Annalen der Physik, il trouve un article intitulé « Über elektrodynamische Wellen im Luftraum und deren Reflexion » (« Sur les ondes électrodynamiques dans l’air et leur réflexion ») écrit par un chercheur allemand peu connu, Heinrich Hertz.

Le travail expérimental de Hertz sur le sujet a commencé à la Technische Hochschule (aujourd’hui l’Institut de technologie de Karlsruhe) de Karlsruhe, en Allemagne, en 1886. Il a remarqué qu’un phénomène curieux se produisait lorsqu’il déchargeait un condensateur à travers une boucle de fil. Une boucle identique située à une courte distance développait des arcs sur ses bornes non connectées. Hertz a reconnu que les étincelles dans la boucle non connectée étaient causées par la réception d’ondes électromagnétiques qui avaient été générées par la boucle avec le condensateur en décharge.

Inspiré, Hertz a utilisé les étincelles dans de telles boucles pour détecter des ondes radiofréquences invisibles. Il a ensuite mené des expériences pour vérifier que les ondes électromagnétiques présentent des comportements de réflexion, de réfraction, de diffraction et de polarisation semblables à ceux de la lumière. Il a réalisé une multitude d’expériences à la fois dans l’espace libre et le long de fils. Il a moulé un prisme d’un mètre de long en asphalte transparent aux ondes radio et l’a utilisé pour observer des exemples de réflexion et de réfraction à relativement grande échelle. Il a lancé des ondes radio vers une grille de fils parallèles et a montré qu’elles se réfléchissaient ou traversaient la grille en fonction de son orientation. Il a ainsi démontré que les ondes électromagnétiques étaient transversales : Elles oscillent, tout comme la lumière, dans une direction perpendiculaire à la direction de leur propagation. Hertz a également réfléchi des ondes radio sur une grande feuille de zinc, mesurant la distance entre les nuls annulés dans les ondes stationnaires résultantes afin de déterminer leurs longueurs d’onde.

Avec ces données – ainsi que la fréquence du rayonnement, qu’il a calculée en mesurant la capacité et l’inductance de son antenne de transmission en forme de circuit – Hertz a pu calculer la vitesse de ses ondes invisibles, qui était assez proche de celle connue pour la lumière visible.

Maxwell avait postulé que la lumière était une onde électromagnétique. Hertz a montré qu’il existait probablement un univers entier d’ondes électromagnétiques invisibles qui se comportent comme la lumière visible et qui se déplacent dans l’espace à la même vitesse. Cette révélation a suffi, par déduction, pour que beaucoup acceptent que la lumière elle-même soit une onde électromagnétique.

La déception de Lodge d’avoir été éconduit était plus que compensée par la beauté et l’exhaustivité du travail de Hertz. Lodge et FitzGerald s’efforcent de populariser les découvertes de Hertz, en les présentant devant la British Association. Presque immédiatement, les travaux de Hertz ont servi de base au développement de la télégraphie sans fil. Les premières incarnations de cette technologie employaient des émetteurs ressemblant beaucoup aux dispositifs à éclateur à large bande utilisés par Hertz.

Les scientifiques ont fini par accepter que les ondes pouvaient se déplacer à travers rien du tout. Et le concept de champ, d’abord de mauvais goût parce qu’il ne comportait aucune pièce mécanique pour le faire fonctionner, est devenu central pour une grande partie de la physique moderne.

Il y avait beaucoup plus à venir. Mais avant même la fin du 19e siècle, grâce aux efforts opiniâtres de quelques enthousiastes dévoués, l’héritage de Maxwell était assuré.

À propos de l’auteur

James C. Rautio est le fondateur de Sonnet Software.