Les mathématiques en tant que langage : Comprendre le signe des égaux

mai 15, 2021admin

Il est facile d’oublier que les mathématiques sont un langage pour communiquer des idées. En tant que mots, « deux et trois sont égaux à cinq » est encombrant. Remplacer les chiffres et les opérations par des symboles aide : « 2 + 3 est égal à 5 ».

Mais on peut faire mieux. En 1557, Robert Recorde invente le signe égal, écrit avec deux lignes parallèles (=), car « noe 2 thynges, can be moare equalle ».

« 2 + 3 = 5 » est beaucoup plus facile à lire. Malheureusement, la signification de « égal » change avec le contexte – demandez aux programmeurs qui doivent distinguer =, == et ===.

Un B « égal » est une conclusion générique : quelle relation spécifique cherche-t-on à transmettre ?

Simplification

Je vois « 2 + 3 = 5 » comme « 2 + 3 peut être simplifié en 5 ». Le signe égal fait passer une forme complexe à gauche à une forme équivalente, plus simple, à droite.

Attribution temporaire

Des affirmations comme « vitesse = 50 » signifient « la vitesse est de 50, pour ce scénario ». C’est seulement bon pour le problème en cours, et il n’y a pas besoin de se souvenir de ce « fait ».

Connexion fondamentale

Considérez une vérité mathématique comme $a^2 + b^2 = c^2$, où a, b et c sont les côtés d’un triangle rectangle.

Je lis ce signe égal comme « doit toujours être égal à » ou « peut être vu comme » parce qu’il énonce une relation permanente, pas une coïncidence. L’arithmétique de $3^2 + 4^2 = 5^2$ est une simplification ; la géométrie de $a^2 + b^2 = c^2$ est une vérité mathématique profonde.

La formule pour ajouter 1 à n est:

$\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$

ce qui peut être vu comme un type de réarrangement géométrique, de combinatoire, de calcul de moyenne, ou même de création de liste.

Définition exacte

Des affirmations comme

$\displaystyle{e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{100\%}{n} \right)^n}$

sont des définitions de notre choix ; la partie gauche est un raccourci pour la partie droite. C’est similaire à l’affectation temporaire, mais réservée aux » faits » qui ne changeront pas d’un scénario à l’autre (e a toujours la même valeur dans chaque équation, mais la » vitesse » peut changer).

Contraintes

Voici un cas délicat. On pourrait écrire

x + y = 5

x – y = 3

ce qui indique des conditions que nous voulons vraies. Je lis cela comme « x + y doit être 5, si possible » et « x – y doit être 3, si possible ». Si nous satisfaisons les contraintes (x=4, y=1), génial !

Si nous ne pouvons pas atteindre les deux objectifs (x + y = 5 ; 2x + 2y = 9), alors les équations pourraient être vraies individuellement mais pas ensemble.

Exemple : Démystifier la formule d’Euler

Démêler le signe égal m’a aidé à décoder la formule d’Euler :

$\displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}$

Une bête étrange, en effet. De quel type d' » égalités » s’agit-il ?

Un pédant pourrait dire qu’il s’agit juste d’une simplification et sortir le calulus pour le démontrer. Ce n’est pas éclairant : il y a une relation fondamentale à découvrir.

e^i*pi renvoie à la même destination que -1. Deux doigts pointant vers la même lune.

Ce sont deux façons de décrire « l’autre côté du cercle unité, à 180 degrés ». -1 s’y rend à pied, en marchant droit dans l’herbe, tandis que e^i*pi prend la route panoramique et tourne dans la dimension imaginaire. Cela fonctionne pour n’importe quel point du cercle : faites-y une rotation, ou déplacez-vous en ligne droite.

formule d'euler's formula

Deux chemins ayant la même destination : c’est ce que signifie leur égalité. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection (« simplifies to », « has been chosen to be », « refers to the same concept as »).

Happy math.

Les mathématiques en tant que langage : Comprendre le signe des égaux

Exemple : Démystifier la formule d’Euler

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