Physique

Exemple 1. Calcul des vitesses suite à une collision élastique

Calculez les vitesses de deux objets suite à une collision élastique, sachant que m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s et v2 = 0.

Stratégie et concept

D’abord, visualisez ce que signifient les conditions initiales-un petit objet frappe un objet plus grand qui est initialement au repos. Cette situation est légèrement plus simple que celle de la figure 1 où les deux objets sont initialement en mouvement. On nous demande de trouver deux inconnues (les vitesses finales v′1 et v′2). Pour trouver deux inconnues, nous devons utiliser deux équations indépendantes. Comme cette collision est élastique, nous pouvons utiliser les deux équations ci-dessus. Les deux peuvent être simplifiées par le fait que l’objet 2 est initialement au repos, et donc v2=0. Une fois que nous simplifions ces équations, nous les combinons algébriquement pour résoudre les inconnues.

Solution

Pour ce problème, notez que v2=0 et utilisez la conservation de la quantité de mouvement. Ainsi,

p1 = p′1 + p′2 ou m1v1=m1v′1+m2v′2.

En utilisant la conservation de l’énergie cinétique interne et que v2=0,

\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2\\

Solvons la première équation (équation de la quantité de mouvement) pour v′2, on obtient

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)\\\\.

Substituer cette expression dans la deuxième équation (équation d’énergie cinétique interne) élimine la variable v′2, ne laissant que v′1 comme inconnue (l’algèbre est laissée comme un exercice pour le lecteur). Il existe deux solutions à toute équation quadratique ; dans cet exemple, elles sont

v′1 = 4 . 00 m/s et v′1=-3,00 m/s.

Comme nous l’avons noté lorsque les équations quadratiques ont été rencontrées dans les chapitres précédents, les deux solutions peuvent être significatives ou non. Dans ce cas, la première solution est la même que la condition initiale. La première solution représente donc la situation avant la collision et est écartée. La deuxième solution (v′1=-3,00 m/s) est négative, ce qui signifie que le premier objet rebondit en arrière. Lorsque cette valeur négative de v′1 est utilisée pour trouver la vitesse du deuxième objet après la collision, on obtient

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}{3,50\text{ kg}\left\text{m/s}\

ou

v′2=1,00 m/s.

Discussion

Le résultat de cet exemple est intuitivement raisonnable. Un petit objet frappe un plus grand au repos et rebondit en arrière. Le plus grand est frappé en avant, mais avec une faible vitesse. (C’est comme si une voiture compacte rebondissait vers l’arrière sur un 4×4 de grande taille initialement au repos). Pour vérifier, essayez de calculer l’énergie cinétique interne avant et après la collision. Vous verrez que l’énergie cinétique interne est inchangée à 4,00 J. Vérifiez également la quantité de mouvement totale avant et après la collision ; vous constaterez qu’elle est également inchangée.

Les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique interne telles qu’elles sont écrites ci-dessus peuvent être utilisées pour décrire toute collision élastique unidimensionnelle de deux objets. Ces équations peuvent être étendues à plus d’objets si nécessaire.

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