Scalaire (mathématiques)
Scalaires des espaces vectorielsModification
Un espace vectoriel est défini comme un ensemble de vecteurs, un ensemble de scalaires, et une opération de multiplication scalaire qui prend un scalaire k et un vecteur v à un autre vecteur kv. Par exemple, dans un espace de coordonnées, la multiplication scalaire k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}.
yields ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
. Dans un espace de fonctions (linéaires), kƒ est la fonction x ↦ k(ƒ(x)).
Les scalaires peuvent être pris dans n’importe quel champ, y compris les nombres rationnels, algébriques, réels et complexes, ainsi que les champs finis.
Les scalaires comme composantes vectoriellesModification
Selon un théorème fondamental de l’algèbre linéaire, tout espace vectoriel a une base. Il s’ensuit que tout espace vectoriel sur un champ scalaire K est isomorphe à un espace vectoriel de coordonnées où les coordonnées sont des éléments de K. Par exemple, tout espace vectoriel réel de dimension n est isomorphe à l’espace réel à n dimensions Rn.
Scalaires dans les espaces vectoriels normésEdit
Alternativement, un espace vectoriel V peut être équipé d’une fonction de norme qui attribue à chaque vecteur v dans V un scalaire ||v||. Par définition, multiplier v par un scalaire k multiplie également sa norme par |k|. Si ||v|| est interprété comme la longueur de v, cette opération peut être décrite comme la mise à l’échelle de la longueur de v par k. Un espace vectoriel équipé d’une norme est appelé espace vectoriel normé (ou espace linéaire normé).
La norme est habituellement définie comme un élément du champ scalaire K de V, ce qui restreint ce dernier aux champs qui supportent la notion de signe. De plus, si V est de dimension 2 ou plus, K doit être fermé sous la racine carrée, ainsi que les quatre opérations arithmétiques ; ainsi les nombres rationnels Q sont exclus, mais le champ surd est acceptable. Pour cette raison, tout espace de produit scalaire n’est pas un espace vectoriel normé.
Scalaires dans les modulesModule
Lorsque l’exigence que l’ensemble des scalaires forme un champ est relâchée de sorte qu’il n’a besoin que de former un anneau (de sorte que, par exemple, la division des scalaires n’a pas besoin d’être définie, ou les scalaires n’ont pas besoin d’être commutatifs), la structure algébrique plus générale qui en résulte est appelée un module.
Dans ce cas, les « scalaires » peuvent être des objets compliqués. Par exemple, si R est un anneau, les vecteurs de l’espace produit Rn peuvent être transformés en un module avec les matrices n×n avec des entrées de R comme scalaires. Un autre exemple vient de la théorie des collecteurs, où l’espace des sections du faisceau tangent forme un module sur l’algèbre des fonctions réelles sur le collecteur.
Transformation d’échelleEdit
La multiplication scalaire des espaces vectoriels et des modules est un cas particulier de mise à l’échelle, une sorte de transformation linéaire.
Opérations scalaires (informatique)Edit
Opérations qui s’appliquent à une seule valeur à la fois.
- Processeur scalaire vs processeur vectoriel ou processeur superscalaire
- Variable (informatique) parfois aussi appelée « scalaire »
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