The Distance Formula
= √(x – a)² + (y – b)²
As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be
| dist((2, -1), (-2, 2)) | = √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)² | |
| = √(2 + 2)² + (-1 – 2)² | ||
| = √(4)² + (-3)² | ||
| = √16 + 9 | ||
| = √25 | ||
| = 5. |
The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram
The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Avec ce petit ajout, nous obtenons un triangle rectangle dont les branches sont 3 et 4. Par le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est (hypoténuse)² = 3² + 4². La longueur de l’hypoténuse est donc de 5, comme la distance entre les deux points selon la formule de la distance. C’est bien sûr toujours le cas : le segment de droite dont la longueur est considérée comme la distance entre ses extrémités sert toujours d’hypoténuse d’un triangle rectangle (en fait, d’une infinité d’entre eux. On a juste choisi le plus commode.)
À quel point la formule de distance (euclidienne) est-elle bonne pour mesurer les distances réelles ? Cela dépend des circonstances. Dans le plan – puisque la Terre est ronde, cela signifie dans des zones relativement petites de la surface terrestre – elle est assez bonne, à condition que la distance soit exactement ce que vous voulez estimer. Si la question est de savoir à quelle vitesse vous pouvez aller d’un point à un autre en vous déplaçant à une vitesse donnée, la formule euclidienne peut ne pas être très utile pour fournir la réponse. En effet, dans une ville – pour ne prendre qu’un exemple – il est souvent impossible de se déplacer d’un point à un autre en ligne droite. Il faut tenir compte des bâtiments, des rues encombrées par le trafic, des clôtures et autres. Dans une ville, on trouve souvent que la formule de distance des taxis
dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|
est plus utile. En mathématiques, la distance euclidienne est la plus fondamentale. Comme le montre l’une des preuves mécaniques du théorème de Pythagore, il en va de même en physique, même si, dans l’une ou l’autre de ces sciences, ce n’est pas la seule formule de distance utilisée.
Distance taxi-bus/blocs-ville.
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