Fysica

Voorbeeld 1. Bereken de snelheden na een elastische botsing

Bereken de snelheden van twee voorwerpen na een elastische botsing, gegeven dat m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s, en v2 = 0.

Strategie en concept

Stel je eerst voor wat de beginvoorwaarden betekenen-een klein voorwerp botst tegen een groter voorwerp dat aanvankelijk in rust is. Deze situatie is iets eenvoudiger dan de situatie in figuur 1, waarin beide voorwerpen aanvankelijk bewegen. Ons wordt gevraagd twee onbekenden te vinden (de uiteindelijke snelheden v′1 en v′2). Om twee onbekenden te vinden, moeten we twee onafhankelijke vergelijkingen gebruiken. Omdat deze botsing elastisch is, kunnen we de twee bovenstaande vergelijkingen gebruiken. Beide kunnen vereenvoudigd worden door het feit dat voorwerp 2 aanvankelijk in rust is, en dus v2=0. Zodra we deze vergelijkingen vereenvoudigd hebben, combineren we ze algebraïsch om de onbekenden op te lossen.

Oplossing

Voor dit probleem moeten we opmerken dat v2=0 en gebruik maken van behoud van momentum. Dus,

p1 = p′1 + p′2 of m1v1=m1v′1+m2v′2.

Gebruik makend van behoud van interne kinetische energie en dat v2=0,

m_1{v_1}^2=m_1{v′_1}^2+m_2{v′_2}^2

Oplossen van de eerste vergelijking (momentumvergelijking) voor v′2, verkrijgen we

v′_2=vrac{m_1}{m_2}left(v_1-v′_1right)\.

Door deze uitdrukking in de tweede vergelijking (vergelijking van de inwendige kinetische energie) te substitueren, verdwijnt de variabele v′2 en blijft alleen v′1 als onbekende over (de algebra wordt als oefening voor de lezer overgelaten). Er zijn twee oplossingen voor elke kwadratische vergelijking; in dit voorbeeld zijn dat

v′1 = 4 . 00 m/s en v′1=-3.00 m/s.

Zoals in eerdere hoofdstukken bij kwadratische vergelijkingen al is opgemerkt, kunnen beide oplossingen al dan niet zinvol zijn. In dit geval is de eerste oplossing gelijk aan de beginvoorwaarde. De eerste oplossing vertegenwoordigt dus de situatie vóór de botsing en wordt terzijde geschoven. De tweede oplossing (v′1=-3,00 m/s) is negatief, wat betekent dat het eerste voorwerp naar achteren stuitert. Wanneer deze negatieve waarde van v′1 gebruikt wordt om de snelheid van het tweede voorwerp na de botsing te vinden, krijgen we

v′_2={m_1}{m_2}links(v_1-v′_1-rechts)=\frac{0.500{ kg}{3,50{ kg}} links{m/s}

of

v′2=1,00 m/s.

Discussie

Het resultaat van dit voorbeeld is intuïtief redelijk. Een klein voorwerp botst tegen een groter voorwerp in rust en stuitert naar achteren. Het grotere voorwerp wordt naar voren gestoten, maar met een lage snelheid. (Dit is alsof een kleine auto achteruit stuitert op een grote SUV die aanvankelijk in rust is). Probeer ter controle de interne kinetische energie voor en na de botsing te berekenen. Je zult zien dat de inwendige kinetische energie onveranderd 4,00 J is. Controleer ook het totale momentum voor en na de botsing; je zult zien dat ook dat onveranderd is.

De vergelijkingen voor behoud van momentum en inwendige kinetische energie zoals hierboven geschreven, kunnen worden gebruikt om elke eendimensionale elastische botsing van twee objecten te beschrijven. Deze vergelijkingen kunnen worden uitgebreid naar meer objecten als dat nodig is.