How good is your bowling score?
.
.
“Alles zal goed gaan als je je verstand gebruikt voor je beslissingen, en alleen aan je beslissingen denkt.” Sinds 2007 heb ik mijn leven gewijd aan het delen van de vreugde van speltheorie en wiskunde. MindYourDecisions heeft nu meer dan 1.000 gratis artikelen zonder advertenties dankzij de steun van de gemeenschap! Help mee en krijg eerder toegang tot artikelen met een toezegging op Patreon.
Ik bowl meestal een score van rond de 130, maar laatst had ik zes strikes en eindigde ik met 215.
Ik nam even de tijd om te zwelgen in de hoge score, maar toen begon ik kritischer na te denken. Ik was nieuwsgierig naar hoe goed de score in statistische zin was.
Ik was met een paar wiskundige vrienden en onze discussie riep veel vragen op.
Hoeveel verschillende bowlinggames zijn er mogelijk? Wat is de gemiddelde bowling score? Op hoeveel manieren kun je elke bowling-score behalen (wat is de verdeling van bowling-scores)?
Ik heb wat onderzoek gedaan en was blij te horen dat er al mensen zijn die deze vragen in de wiskunde hebben beantwoord. Hier is wat van de interessante wiskunde.
Het schrijven van een bowlinggame in wiskundige termen
De eerste stap in het probleem is het vertalen van een bowlinggame in wiskunde. Het idee is om een korte handnotatie te ontwikkelen om het spel compact te beschrijven. Ik volg de notatie die is ontwikkeld in dit artikel “Is the Mean Bowling Score Awful.”
Overweeg het allereerste frame van een spel. Wat zijn de mogelijke uitkomsten als je de bal bowlt?
Eén mogelijkheid is dat je alle 10 pins met een strike omgooit en het eerste frame eindigt.
De andere mogelijkheid is dat je niet alle 10 pins omgooit. Dan krijg je een tweede kans om de overgebleven pins te raken. Als je de overgebleven kegels raakt, is het een spare.
Mathematisch kunnen we de bowls modelleren als een verzameling van twee getallen: het aantal kegels dat bij de eerste worp wordt omgegooid, en het aantal bij de tweede worp. We kunnen dit schrijven als een geordende verzameling (eerste worp, tweede worp) = (x , y).
Als je 3 kegels omgooit en daarna 4, dan is de verzameling (3, 4). Of als je 3 en dan 7 omgooit om een spare te maken, dan zou dat geschreven worden als (3,7)
In een strike sla je alle 10 pins om en krijg je geen tweede worp. We kunnen dit speciale geval schrijven als (10, 0) met dien verstande dat je nooit een tweede worp hebt gedaan.
Met deze notatie kunnen we de mogelijke uitkomsten in het eerste frame compact beschrijven. De uitkomsten kunnen worden geschreven als een geordend paar van twee getallen, waarbij beide getallen nul of positief zijn, en de som van de twee getallen maximaal 10 is – omdat je in een frame maximaal 10 kegels kunt omgooien.
In setnotatie wordt dit geschreven
De eerste negen frames van het spel werken op dezelfde manier.
Het tiende frame van het spel is iets anders. Als je een strike krijgt in de eerste worp, of een spare in de tweede worp, mag je een bonus derde worp doen in het tiende frame. Daarom moet het tiende frame worden weergegeven door drie getallen, met speciale relaties afhankelijk van of er een strike of een spare wordt gemaakt.
Er zijn vier verschillende mogelijkheden:
-Twee worpen worden gemaakt, minder dan 10 worden er neergehaald (geen derde worp)
-De tweede worp maakt een spare
-De eerste worp is een strike maar de tweede niet
-Twee strikes worden gemaakt
De notatie wordt ingewikkelder, maar in essentie komt het erop neer hoe je deze vier mogelijkheden in set-notatie zou uitschrijven. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Daarna vermenigvuldigen we het aantal manieren om het aantal totale spellen te krijgen.
De verzameling A is het aantal manieren dat twee positieve gehele getallen opgeteld 10 of minder zijn. Dit is een klassiek combinatorisch probleem.
Er is een slimme manier om het aantal oplossingen te tellen. Ik vond via Google Books een afleiding voor het vinden van het aantal manieren waarop n niet-negatieve gehele getallen optellen tot een geheel getal r:
Link naar pagina 46 van Principles and techniques in combinatorics bij Google Books
De formule is C(r + n -1, r)
In onze bowlingverzameling willen we de manier vinden waarop twee getallen (n = 2) optellen tot 10 of minder (r = 10, 9, 8, …, 0).
We willen de formule voor elke waarde van r berekenen en dan alles bij elkaar optellen. Dit is minder werk dan het klinkt.
Voor r = 10 zien we dat de formule C(11, 10) is en dat is 11. Voor r = 9 wordt de formule C(10, 9) en dat is 10. Het patroon gaat door voor lagere waarden van r, dus uiteindelijk willen we optellen 11 + 10 + 9 + … 1.
Dit is gemakkelijk te berekenen als 66. Er zijn dus 66 manieren voor elk van de eerste negen frames.
We willen nu het aantal manieren weten voor het tiende frame.
Het proces is hetzelfde als voorheen. Ik zal de bloederige details hier besparen en volstaan met te zeggen dat het antwoord 241 is.
Nu kunnen we het totaal aantal bowlinggames berekenen door de getallen met elkaar te vermenigvuldigen.
Het totaal aantal bowlinggames is (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), dat is ongeveer 5.7 x 1018
Dit komt in de verste verte niet in de buurt van het aantal mogelijke schaakspellen, maar het is nog steeds een heel groot getal.
Om het in perspectief te plaatsen: de hele wereld (6,7 x 109) zou er ruim 2,3 miljoen jaar over doen om elke dag een spelletje te spelen.
Wat is de gemiddelde bowling-score?
Dit deel wordt wiskundig nog ingewikkelder.
De truc is om de sets om te zetten in scores, gebaseerd op de speciale regels voor spares (bonus van volgende worp) en strikes (bonus van volgende twee worpen).
Dan kan het gemiddelde worden berekend door alle mogelijke scores te sommeren door het aantal games, dat eerder werd afgeleid.
De gemiddelde bowling score blijkt ongeveer 80 te zijn (of om precies te zijn, eerder 79.7).
Dat is een geruststelling dat zelfs een bescheiden score als 100 bovengemiddeld is!
De details van de afleiding worden uitgelegd in het volgende fragment:
Link to Mean bowling score at Google Books
Het artikel is gedateerd omdat het eindigt met het openlaten van de vraag om de volledige verdeling van bowling scores te bepalen. Dit is in feite al gedaan.
Wat is de verdeling van bowling scores?
De laatste en echt moeilijke vraag is het vinden van de bowling verdeling.
Dat is, voor elke score n, wat is het aantal manieren s(n) om die score te halen.
Er zijn een aantal gevallen waar het antwoord voor de hand ligt. Er is maar 1 manier om een score van 0 te halen, zoals er maar 1 manier is om 300 te scoren, of 299, of 298, enzovoort tot 291.
De andere gevallen zijn moeilijker uit te vogelen. Er zijn 20 manieren waarop je 1 kunt scoren, en er zijn 11 manieren om 290 te scoren.
Om de hele verdeling te achterhalen is slim rekenwerk nodig. De resultaten staan beschreven op deze prachtige webpagina met de volgende mooie grafiek:
afbeelding bron: alles over bowling scores
Merk op dat bowling scores zwaar scheef zijn! Scores boven de 120 zijn minder waarschijnlijk omdat een speler dan een redelijk aantal spares en strikes moet halen.
Een andere manier om hier over na te denken is dat zelfs een bescheiden score van 115 in het 99e percentiel ligt.
Houd dit in gedachten als je de volgende keer uit bowlen bent. Gezien het bereik van mogelijke bowling scores, is uw score waarschijnlijk beter dan u denkt!
(De percentielen zullen veranderen als we de verdeling baseren op werkelijke bowling gegevens. Helaas heb ik hierover geen statistieken kunnen vinden.)