In PV=nRT Wat is de R-constante?

In de scheikunde is de formule PV=nRT de toestandsvergelijking voor een hypothetisch ideaal gas. De ideale gaswet beschrijft het gedrag van een ideaal gasmonster, en hoe dat gedrag samenhangt met de druk (P), de temperatuur (T), het volume (V) en de molariteit (n) van het gasmonster. In de vergelijking PV=nRT staat de term “R” voor de universele gasconstante.

De universele gasconstante is een evenredigheidsconstante die de energie van een gasmonster relateert aan de temperatuur en de molariteit van het gas. Hij wordt soms ook de ideale gasconstante, de molaire gasconstante genoemd. Hij wordt ook wel eens de Regnaultconstante genoemd, ter ere van de Franse scheikundige Henri Regnault, wiens kwantitatieve gegevens voor het eerst werden gebruikt om de waarde van de constante nauwkeurig te berekenen. De thans geaccepteerde waarde voor de universele gasconstante R is:

R-constante = 8,3144598 J/mol-K

De eenheid voor de gasconstante is de joule per mol-kelvin. Dit kan worden gelezen als “arbeid per mol per graad”. In wezen legt de gasconstante een verband tussen de molaire hoeveelheid gas en de temperatuur van het gas en de hoeveelheid kinetische energie in het gas. Men kan de universele gasconstante berekenen door het product van de druk en het volume van een gas te delen door de molariteit en de temperatuur van het gas:

R = PV/nT

Afleiding van de ideale gaswet

“Gassen onderscheiden zich van andere vormen van materie, niet alleen door hun onbepaalde uitzettingsvermogen om elk vat te vullen, hoe groot ook, en door het grote effect van warmte om ze uit te zetten, maar ook door de uniformiteit en eenvoud van de wetten die deze veranderingen reguleren.” – James Clerk Maxwell

ADVERTENTIE

De ideale gaswet is een van de meest fundamentele vergelijkingen in de fysische scheikunde, en zij is onafhankelijk van elkaar afgeleid door experimentele analyse en theoretische extrapolatie. Oorspronkelijk is de ideale gaswet ontstaan als een combinatie van 4 andere verschillende wiskundige uitdrukkingen die verschillende eigenschappen van een gas met elkaar in verband brengen. De vier afzonderlijke wetten zijn: De wet van Charles, de wet van Boyle, de wet van Gay-Lussac, en de wet van Avagadro.

De wet van Charles

De wet van Charles is een empirische wet die stelt dat het volume van een gas recht evenredig is met de temperatuur van het gas. Met andere woorden, als men de temperatuur van een gas verhoogt, zal men een overeenkomstige toename van het volume van het gas waarnemen. Evenzo, als men de temperatuur van een gas verlaagt, zal men een overeenkomstige afname van het volume zien. Wiskundig kan de wet van Charles worden geschreven als:

• V ∝ T

waarbij “∝” betekent “recht evenredig met”, of

• V/T = constant

In essentie is de wet van Charles een wiskundig precieze manier om het vaak waargenomen feit te beschrijven dat gassen de neiging hebben uit te zetten bij verhitting.

De wet van Boyle

De wet van Boyle is een gaswet die beschrijft hoe de druk van een gasmonster de neiging heeft toe te nemen als het volume van dat monster afneemt. De wet van Boyle kan worden gesteld als “de druk van een gas in een gesloten systeem bij een constante hoeveelheid en temperatuur is omgekeerd evenredig met het volume van het gas”. Wiskundig kan dit worden geschreven als:

• V ∝ 1/P

of

• PV = constant

De wet van Boyle vertelt ons in feite dat als we een gas samendrukken, het minder ruimte heeft om in te zitten en het dus harder op de wanden van zijn vat drukt.

De wet van Gay-Lussac

De wet van Gay-Lussac is een empirische veralgemening die het verband aangeeft tussen de temperatuur van een gasmonster en de druk ervan. De wet van Gay-Lussac stelt dat “bij een constant volume en een constante hoeveelheid, de druk van een gas recht evenredig is met de temperatuur van het gas. Deze wet kan wiskundig worden beschreven als:

• P ∝ T

of,

• P/T = constant

In principe zegt de wet van Gay-Lussac ons dat als we een gasmonster verhitten, we een overeenkomstige toename van de druk ervan zullen zien. Temperatuur is slechts een maat voor de moleculaire beweging, dus als we een gas verhitten, gaan de samenstellende deeltjes sneller bewegen. Hoe sneller de moleculen bewegen, hoe meer kracht ze tegen de wanden van de houder uitoefenen – het gas zal een grotere druk uitoefenen. De wet van Gay-Lussac verklaart waarom het verhitten van een afgesloten gascontainer de container kan opblazen; de druk die het gas uitoefent wordt te groot voor het materiaal en het scheurt.

De wet van Avagadro

De laatste van de vier delen van de ideale gasvergelijking is de wet van Avagadro. De wet van Avagadro stelt dat het volume van een gas bij constante druk en temperatuur recht evenredig is met het aantal deeltjes waaruit het gas bestaat. Een andere manier om de wet uit te drukken is dat als 2 gasmonsters hetzelfde volume hebben bij een constante temperatuur en druk, de 2 gasmonsters een identiek aantal deeltjes hebben. De vergelijking voor de wet van Avagadro is:

• V ∝ n

waarbij n het aantal afzonderlijke deeltjes is. De wet van Avagadro kan ook worden geschreven als:

• V/n = constante

De wet van Avagadro is heel intuïtief. Het is een kwestie van gezond verstand dat, als alle andere dingen gelijk zijn, hoe meer gas er is, hoe meer ruimte het in beslag zal nemen. Als twee gassen hetzelfde volume hebben, moeten ze ook dezelfde hoeveelheid deeltjes bevatten.

De ideale gaswet afleiden

Nu we de vier fundamentele toestandsvergelijkingen voor gas hebben, kunnen we ze combineren tot één enkele uitdrukking die de ideale gaswet oplevert. We kunnen de wetten als volgt combineren:

• V ∝ T (wet van Charles)
• V ∝ 1/P (wet van Boyle)
• P ∝ T (wet van Gay-Lussac)
• V ∝ n (wet van Avagadro)

Het combineren van deze uitdrukkingen geeft ons:

• V ∝ nT/P

Omdat “∝” staat voor directe evenredigheid, kunnen we de “∝” vervangen door een “=” door aan het rechterlid een evenredigheidsconstante toe te voegen. Experimenteel hebben we vastgesteld dat deze constante gelijk is aan de waarde van R, dus door R aan de vergelijking toe te voegen krijgen we::

• V = nRT/P

Resolderen van deze vergelijking geeft ons:

• PV = nRT

De betekenis van de R-constante

“Dichters zeggen dat de wetenschap de schoonheid van de sterren – louter bolletjes gasatomen – wegneemt. Ook ik kan de sterren zien op een woestijnnacht, en ze voelen. Maar zie ik minder of meer?” – Richard P. Feynman

Wat is nu precies de universele gasconstante? De andere parameters in de ideale gasvergelijking lijken allemaal overeen te komen met een of andere fysisch significante variabele; druk (P), volume (V), hoeveelheid van een stof (n), en temperatuur (T). R lijkt dit echter niet te doen. Zoals bij veel wiskundige constanten, komt de term R niet expliciet overeen met een fysische grootheid, entiteit of proces. In plaats daarvan stelt de parameter R een verband voor tussen enkele fysische grootheden, met name de druk en het volume van een gas, en de temperatuur en de hoeveelheid gas. Meer bepaald is R gelijk aan de verhouding PV/nT.

De exacte numerieke waarde van de gasconstante varieert in feite met de gekozen eenheden. De numerieke waarde van R als 8,3144598 is een gevolg van de specifieke eenheden die we gebruiken. Deze waarde van R is het resultaat van het meten van de fysische grootheden van gassen in de standaard SI-eenheden. De standaard SI-eenheden en hun symbool voor elke parameter in de ideale gasvergelijking zijn:

• Druk (P) – Newton (kg-m/s²)
• Volume (V) – Meter (m³)
• Temperatuur (T) – Kelvin (K)
• Hoeveelheid stof (n) – mol (mol)

Als we onze eenheden veranderen, dan zal de numerieke waarde van de gasconstante ook veranderen. Stel bijvoorbeeld dat we besloten het volume van het gas te meten in liters (L) in plaats van meters, en de druk van het gas in standaard atmosferen (atm) in plaats van Newtons. Met deze eenheden krijgt de universele gasconstante een numerieke waarde van R = 0,082057 L-atm/mol-K. Stel dat we besluiten de druk te meten in millimeters kwik (mmHg). De gasconstante krijgt dan de numerieke waarde R = 62,3636711 m³-mmHG/mol-K

Het is belangrijk te beseffen dat het veranderen van de eenheden niet betekent dat de gasconstante zelf verandert. De gasconstante is precies dat, een constante, en verandert dus niet. Door de eenheden te veranderen, verandert alleen de numerieke waarde die wordt gebruikt om de constante uit te drukken. Theoretisch zou het mogelijk zijn een eenhedenstelsel te kiezen dat de numerieke waarde van de gasconstante verandert in 1. In zo’n eenhedenstelsel zou de ideale gasvergelijking gewoon geschreven kunnen worden als PV = nT. Bedenk wel dat in deze vergelijking de universele gasconstante niet verdwenen is. De gasconstante is nog steeds aanwezig, maar heeft alleen een numerieke waarde van R = 1. De constante zelf is nog steeds nodig om de juiste dimensionale analyse van de gebruikte eenheden te geven.

In essentie vertegenwoordigt de parameter R een relatie die bestaat tussen de fysische parameters van gas, en de eenheden die we kiezen om die fysische parameters te meten. Daarom kan de gasconstante worden gebruikt om de fysische metingen van gas om te zetten in verschillende eenhedenstelsels.

Beperkingen van de ideale gaswet

Er is een reden waarom deze wet de “ideale” gaswet wordt genoemd in plaats van de “werkelijke” gaswet. De geldigheid van de ideale gaswet is afhankelijk van een aantal geïdealiseerde aannames over de aard en het gedrag van gassen. Ten eerste gaat de ideale gaswet ervan uit dat de deeltjes in een gas zich houden aan de wetten van de Newton-mechanica. Dit betekent dat wordt aangenomen dat gasdeeltjes de door Isaac Newton beschreven wetten van kracht en zwaartekracht gehoorzamen en dat de effecten van elektrostatische intermoleculaire attracties buiten beschouwing worden gelaten.

“De science fiction van vandaag is de science fact van morgen.” – Isaac Asimov

Ten tweede wordt aangenomen dat de moleculen van het gas verwaarloosbaar klein zijn in vergelijking met het gehele volume van het gas. Door deze aanname kunnen wetenschappers hun berekeningen voor het volume vereenvoudigen door het niet-nul volume dat moleculen in werkelijkheid hebben, buiten beschouwing te laten.

Ten derde wordt ervan uitgegaan dat de botsingen tussen de moleculen en de wanden van de container volkomen elastisch zijn – dat wil zeggen dat bij botsingen geen kinetische energie verloren gaat. In werkelijkheid wordt een heel klein beetje kinetische energie door de wanden van de container geabsorbeerd en als warmte afgevoerd.

Door deze aannames is de “universele” gaswet technisch gezien niet universeel en slechts nauwkeurig over een bepaald gebied. Met name in een zeer koud gasmonster overwinnen de intermoleculaire interacties de kinetische energie van de deeltjes, waardoor het gedrag van het gas afwijkt van het ideale gedrag. Complexere toestandsvergelijkingen, zoals van der Waals vergelijkingen, worden gebruikt om rekening te houden met de effecten op het gedrag van deeltjes ten gevolge van intermoleculaire krachten.