La lunga strada verso le equazioni di Maxwell

Se volete rendere omaggio al grande fisico James Clerk Maxwell, non vi mancheranno i luoghi in cui farlo. C’è una lapide nell’Abbazia di Westminster a Londra, non lontano dalla tomba di Isaac Newton. Una magnifica statua è stata recentemente installata a Edimburgo, vicino al suo luogo di nascita. Oppure si può rendere omaggio al suo ultimo luogo di riposo vicino a Castle Douglas, nel sud-ovest della Scozia, a breve distanza dalla sua amata tenuta ancestrale. Sono monumenti appropriati alla persona che ha sviluppato la prima teoria unificata della fisica, che ha mostrato che l’elettricità e il magnetismo sono intimamente connessi.

Ma ciò che questi punti di riferimento non riflettono è il fatto che, al momento della morte di Maxwell nel 1879, la sua teoria elettromagnetica – che è alla base di così tanto del nostro mondo tecnologico moderno – non era ancora su un terreno solido.

Una straordinaria quantità di informazioni sul mondo – le regole di base secondo cui la luce si comporta, la corrente scorre e il magnetismo funziona – può essere ridotta a quattro eleganti equazioni. Oggi, queste sono conosciute collettivamente come equazioni di Maxwell e si possono trovare in quasi tutti i libri di testo introduttivi di ingegneria e fisica.

Si potrebbe dire che queste equazioni hanno avuto il loro inizio 150 anni fa, questo mese, quando Maxwell presentò la sua teoria che univa elettricità e magnetismo davanti alla Royal Society di Londra, pubblicando una relazione completa l’anno successivo, nel 1865. È stato questo lavoro che ha posto le basi per tutte le grandi realizzazioni in fisica, telecomunicazioni e ingegneria elettrica che sarebbero seguite.

Ma c’è stato un lungo intervallo tra la presentazione e l’utilizzo. I fondamenti matematici e concettuali della teoria di Maxwell erano così complicati e controintuitivi che la sua teoria fu largamente trascurata dopo la sua introduzione.

Ci vollero quasi 25 anni perché un piccolo gruppo di fisici, essi stessi ossessionati dai misteri dell’elettricità e del magnetismo, mettessero la teoria di Maxwell su basi solide. Furono loro a raccogliere le prove sperimentali necessarie per confermare che la luce è composta da onde elettromagnetiche. E sono stati loro a dare alle sue equazioni la loro forma attuale. Senza gli sforzi erculei di questo gruppo di “maxwelliani”, così chiamati dallo storico Bruce J. Hunt, dell’Università del Texas a Austin, ci sarebbero voluti altri decenni prima che la nostra moderna concezione di elettricità e magnetismo fosse ampiamente adottata. E questo avrebbe ritardato tutta l’incredibile scienza e tecnologia che sarebbe seguita.

Oggi impariamo presto che la luce visibile è solo una parte dell’ampio spettro elettromagnetico, la cui radiazione è costituita da campi elettrici e magnetici oscillanti. E impariamo che l’elettricità e il magnetismo sono inestricabilmente legati; un campo magnetico che cambia crea un campo elettrico, e la corrente e i campi elettrici che cambiano danno origine ai campi magnetici.

Dobbiamo ringraziare Maxwell per queste intuizioni fondamentali. Ma non gli sono venute in mente improvvisamente e dal nulla. Le prove di cui aveva bisogno arrivarono a pezzetti, nel corso di più di 50 anni.

Si potrebbe far partire l’orologio nel 1800, quando il fisico Alessandro Volta riportò l’invenzione di una batteria, che permise agli sperimentatori di iniziare a lavorare con la corrente continua. Circa 20 anni dopo, Hans Christian Ørsted ottenne la prima prova di un legame tra elettricità e magnetismo, dimostrando che l’ago di una bussola si muoveva quando veniva avvicinato a un filo percorso da corrente. Poco dopo, André-Marie Ampère dimostrò che due fili paralleli portatori di corrente potevano essere fatti per esibire un’attrazione o una repulsione reciproca a seconda della direzione relativa delle correnti. E all’inizio degli anni 1830, Michael Faraday aveva dimostrato che proprio come l’elettricità poteva influenzare il comportamento di un magnete, un magnete poteva influenzare l’elettricità, quando dimostrò che disegnare un magnete attraverso un anello di filo poteva generare corrente.

Queste osservazioni erano prove frammentarie di un comportamento che nessuno aveva veramente capito in modo sistematico o completo. Cos’era davvero la corrente elettrica? Come faceva un filo che trasportava corrente a raggiungere e attorcigliare un magnete? E come faceva un magnete in movimento a creare corrente?

Un seme importante fu piantato da Faraday, che immaginò un misterioso, invisibile “stato elettrotonico” che circondava il magnete – quello che oggi chiameremmo un campo. Ha postulato che i cambiamenti in questo stato elettrotonico sono ciò che causa i fenomeni elettromagnetici. E Faraday ipotizzò che la luce stessa fosse un’onda elettromagnetica. Ma dare forma a queste idee in una teoria completa era al di là delle sue capacità matematiche. Questo era lo stato delle cose quando Maxwell entrò in scena.

Negli anni 1850, dopo essersi laureato all’Università di Cambridge, in Inghilterra, Maxwell si mise a cercare di dare un senso matematico alle osservazioni e alle teorie di Faraday. Nel suo primo tentativo, un articolo del 1855 intitolato “On Faraday’s Lines of Force”, Maxwell ideò un modello per analogia, mostrando che le equazioni che descrivono il flusso di fluidi incomprimibili potevano essere usate anche per risolvere problemi con campi elettrici o magnetici immutabili.

Il suo lavoro fu interrotto da una raffica di distrazioni. Nel 1856 accettò un lavoro al Marischal College di Aberdeen, in Scozia; dedicò diversi anni a uno studio matematico della stabilità degli anelli di Saturno; fu licenziato durante una fusione di college nel 1860; contrasse il vaiolo e quasi morì prima di accettare finalmente un nuovo lavoro, come professore al King’s College di Londra.

In qualche modo, in tutto questo, Maxwell trovò il tempo per dare corpo alla teoria del campo di Faraday. Sebbene non fosse ancora una teoria completa dell’elettromagnetismo, un documento che pubblicò in diverse parti nel 1861 e nel 1862 si rivelò un importante passo avanti.

Su idee precedenti, Maxwell immaginò una sorta di mezzo molecolare in cui i campi magnetici sono schiere di vortici rotanti. Ognuno di questi vortici è circondato da piccole particelle di qualche forma che aiutano a portare lo spin da un vortice all’altro. Anche se in seguito la mise da parte, Maxwell trovò che questa visione meccanica aiutava a descrivere una serie di fenomeni elettromagnetici. Forse la cosa più importante è che ha gettato le basi per un nuovo concetto fisico: la corrente di spostamento.

La corrente di spostamento non è veramente corrente. È un modo di descrivere come il cambiamento del campo elettrico che passa attraverso un’area particolare può dare origine a un campo magnetico, proprio come fa una corrente. Nel modello di Maxwell, la corrente di spostamento nasce quando un cambiamento nel campo elettrico causa un cambiamento momentaneo nella posizione delle particelle nel mezzo del vortice. Il movimento di queste particelle genera una corrente.

Una delle manifestazioni più drammatiche della corrente di spostamento è nel condensatore, dove in alcuni circuiti l’energia immagazzinata tra due piastre in un condensatore oscilla tra valori alti e bassi. In questo sistema, è abbastanza facile visualizzare come funzionerebbe il modello meccanico di Maxwell. Se il condensatore contiene un materiale isolante e dielettrico, si può pensare alla corrente di spostamento come derivante dal movimento degli elettroni che sono legati ai nuclei degli atomi. Questi oscillano avanti e indietro da una parte all’altra, come se fossero attaccati a degli elastici tesi. Ma la corrente di spostamento di Maxwell è più fondamentale di questo. Può sorgere in qualsiasi mezzo, compreso il vuoto dello spazio, dove non ci sono elettroni disponibili per creare una corrente. E proprio come una corrente reale, dà origine a un campo magnetico.

Con l’aggiunta di questo concetto, Maxwell aveva gli elementi di base di cui aveva bisogno per collegare le proprietà misurabili dei circuiti a due costanti, ora fuori uso, che esprimono quanto facilmente si formano campi elettrici e magnetici in risposta a una tensione o una corrente. (Al giorno d’oggi, formuliamo queste costanti fondamentali in modo diverso, come la permittività e la permeabilità dello spazio libero).

Come una costante di molla determina quanto velocemente una molla rimbalza dopo essere stata allungata o compressa, queste costanti possono essere combinate per determinare quanto velocemente un’onda elettromagnetica viaggi nello spazio libero. Dopo che altri avevano determinato i loro valori utilizzando esperimenti su condensatori e induttori, Maxwell fu in grado di stimare la velocità di un’onda elettromagnetica nel vuoto. Quando ha confrontato il valore alle stime esistenti della velocità della luce, ha concluso dalla loro quasi uguaglianza che la luce deve essere un’onda elettromagnetica.

Maxwell completato gli ultimi pezzi chiave della sua teoria elettromagnetica nel 1864, quando aveva 33 anni (anche se ha fatto alcune semplificazioni nel lavoro successivo). Nel suo discorso del 1864 e nel documento che seguì, si lasciò alle spalle il modello meccanico ma mantenne il concetto di corrente di spostamento. Concentrandosi sulla matematica, descrisse come l’elettricità e il magnetismo sono collegati e come, una volta generati correttamente, si muovono di concerto per creare un’onda elettromagnetica.

Questo lavoro è il fondamento della nostra moderna comprensione dell’elettromagnetismo, e fornisce ai fisici e agli ingegneri tutti gli strumenti di cui hanno bisogno per calcolare le relazioni tra cariche, campi elettrici, correnti e campi magnetici.

Ma quello che avrebbe dovuto essere un colpo di stato fu in realtà accolto con estremo scetticismo, anche dai colleghi più vicini di Maxwell. Uno degli scettici più accesi fu Sir William Thomson (poi Lord Kelvin). Un leader della comunità scientifica britannica all’epoca, Thomson semplicemente non credeva che una cosa come la corrente di spostamento potesse esistere.

La sua obiezione era naturale. Una cosa era pensare a una corrente di spostamento in un dielettrico pieno di atomi. Un’altra era immaginarla formarsi nel nulla del vuoto. Senza un modello meccanico per descrivere questo ambiente e senza effettive cariche elettriche in movimento, non era chiaro cosa fosse la corrente di spostamento o come potesse sorgere. Questa mancanza di un meccanismo fisico era sgradevole per molti fisici dell’epoca vittoriana. Oggi, naturalmente, siamo disposti ad accettare teorie fisiche, come la meccanica quantistica, che sfidano la nostra intuizione fisica quotidiana, purché siano matematicamente rigorose e abbiano un grande potere predittivo.

I contemporanei di Maxwell percepirono altre grandi lacune nella sua teoria. Per esempio, Maxwell postulava che i campi elettrici e magnetici oscillanti formassero insieme delle onde, ma non descriveva come queste si muovessero nello spazio. Tutte le onde conosciute a quel tempo richiedevano un mezzo in cui viaggiare. Le onde sonore viaggiano nell’aria e nell’acqua. Quindi, se le onde elettromagnetiche esistevano, i fisici del tempo ragionavano, ci doveva essere un mezzo per trasportarle, anche se questo mezzo non poteva essere visto, assaggiato o toccato.

Anche Maxwell credeva in un tale mezzo, o etere. Si aspettava che riempisse tutto lo spazio e che il comportamento elettromagnetico fosse il risultato di sollecitazioni, tensioni e movimenti in questo etere. Ma nel 1865, e nel suo successivo Trattato di Elettricità e Magnetismo in due volumi, Maxwell presentò le sue equazioni senza alcun modello meccanico per giustificare come o perché queste mistiche onde elettromagnetiche potessero propagarsi. Per molti dei suoi contemporanei, questa mancanza di un modello fece sembrare la teoria di Maxwell gravemente incompleta. Gli studenti del college possono accogliere le quattro equazioni di Maxwell con terrore, ma la formulazione di Maxwell era molto più complicata. Per scrivere le equazioni in modo economico, abbiamo bisogno di matematica che non era pienamente matura quando Maxwell stava conducendo il suo lavoro. In particolare, abbiamo bisogno del calcolo vettoriale, un modo di codificare in modo compatto le equazioni differenziali dei vettori in tre dimensioni.

La teoria di Maxwell oggi può essere riassunta da quattro equazioni. Ma la sua formulazione aveva la forma di 20 equazioni simultanee, con 20 variabili. Le componenti dimensionali delle sue equazioni (le direzioni x, y e z) dovevano essere espresse separatamente. E impiegava alcune variabili controintuitive. Oggi siamo abituati a pensare e lavorare con i campi elettrici e magnetici. Ma Maxwell lavorava principalmente con un altro tipo di campo, una quantità che chiamò momento elettromagnetico, dal quale avrebbe poi calcolato i campi elettrici e magnetici che Faraday aveva immaginato per primo. Maxwell potrebbe aver scelto quel nome per il campo – oggi noto come potenziale vettoriale magnetico – perché la sua derivata rispetto al tempo produce una forza elettrica. Ma il potenziale non ci fa alcun favore quando si tratta di calcolare un sacco di semplici comportamenti elettromagnetici ai confini, come il modo in cui le onde elettromagnetiche si riflettono su una superficie conduttiva.

Il risultato netto di tutta questa complessità è che quando la teoria di Maxwell fece il suo debutto, quasi nessuno stava prestando attenzione.

Ma alcune persone lo fecero. E uno di loro era Oliver Heaviside. Una volta descritto da un amico come una “stranezza di prima categoria”, Heaviside, cresciuto in estrema povertà e parzialmente sordo, non frequentò mai l’università. Invece, insegnò a se stesso la scienza avanzata e la matematica.

Heaviside era poco più che ventenne e lavorava come telegrafista a Newcastle, nel nord-est dell’Inghilterra, quando ottenne il Trattato di Maxwell del 1873. “Ho visto che era grande, più grande e più grande”, scrisse più tardi. “Ero determinato a padroneggiare il libro e mi misi al lavoro”. L’anno successivo, lasciò il suo lavoro e si trasferì dai suoi genitori per imparare Maxwell.

È stato Heaviside, lavorando in gran parte in isolamento, a mettere le equazioni di Maxwell nella loro forma attuale. Nell’estate del 1884, Heaviside stava studiando come l’energia si muoveva da un posto all’altro in un circuito elettrico. Quell’energia, si chiese, è trasportata dalla corrente in un filo o nel campo elettromagnetico che lo circonda?

Heaviside finì per riprodurre un risultato che era già stato pubblicato da un altro fisico britannico, John Henry Poynting. Ma continuò a spingere oltre, e nel processo di lavoro attraverso il complicato calcolo vettoriale, si imbatté in un modo per riformulare la serie di equazioni di Maxwell nelle quattro che usiamo oggi.

La chiave era eliminare lo strano potenziale magnetico vettoriale di Maxwell. “Non ho mai fatto alcun progresso finché non ho buttato a mare tutti i potenziali”, disse in seguito Heaviside. La nuova formulazione poneva invece i campi elettrici e magnetici davanti e al centro.

Una delle conseguenze del lavoro è stata che ha esposto la bella simmetria nelle equazioni di Maxwell. Una delle quattro equazioni descrive come un campo magnetico che cambia crea un campo elettrico (scoperta di Faraday), e un’altra descrive come un campo elettrico che cambia crea un campo magnetico (la famosa corrente di spostamento, aggiunta da Maxwell).

Questa formulazione ha anche esposto un mistero. Le cariche elettriche, come gli elettroni e gli ioni, hanno linee di campo elettrico intorno a loro che si irradiano dalla carica. Ma non c’è una fonte di linee di campo magnetico: Nel nostro universo conosciuto, le linee di campo magnetico sono sempre anelli continui, senza inizio né fine.

Questa asimmetria turbò Heaviside, così aggiunse un termine che rappresenta una “carica” magnetica, supponendo che non fosse ancora stata scoperta. E infatti non lo è ancora. I fisici hanno da allora condotto ampie ricerche per tali cariche magnetiche, chiamate anche monopoli magnetici. Ma non sono mai state trovate.

Ancora, la corrente magnetica è un artificio utile per risolvere problemi elettromagnetici con alcuni tipi di geometrie, come il comportamento della radiazione che si muove attraverso una fenditura in un foglio conduttore.

Se Heaviside ha modificato le equazioni di Maxwell fino a questo punto, perché non le chiamiamo equazioni di Heaviside? Heaviside stesso rispose a questa domanda nel 1893 nella prefazione al primo volume della sua pubblicazione in tre volumi, Teoria elettromagnetica. Egli scrisse che se abbiamo buone ragioni “per credere che egli avrebbe ammesso la necessità del cambiamento quando gli è stato fatto notare, allora penso che la teoria modificata risultante possa essere chiamata di Maxwell”

L’eleganza matematica era una cosa. Ma trovare prove sperimentali per la teoria di Maxwell era un’altra cosa. Quando Maxwell morì nel 1879, a 48 anni, la sua teoria era ancora considerata incompleta. Non c’era alcuna prova empirica che la luce fosse composta da onde elettromagnetiche, a parte il fatto che la velocità della luce visibile e quella della radiazione elettromagnetica sembravano coincidere. Inoltre, Maxwell non affrontava specificamente molte delle qualità che la radiazione elettromagnetica dovrebbe avere se costituisce la luce, cioè comportamenti come la riflessione e la rifrazione.

I fisici George Francis FitzGerald e Oliver Lodge lavorarono per rafforzare il legame con la luce. Proponenti del Trattato di Maxwell del 1873, i due si incontrarono l’anno prima della morte di Maxwell in una riunione della British Association for the Advancement of Science a Dublino, e cominciarono a collaborare, soprattutto attraverso lo scambio di lettere. La loro corrispondenza tra di loro e con Heaviside contribuì a far progredire la comprensione teorica della teoria di Maxwell.

Come sottolinea lo storico Hunt nel suo libro, The Maxwellians, Lodge e FitzGerald speravano anche di trovare prove sperimentali per sostenere l’idea che la luce è un’onda elettromagnetica. Ma qui non ebbero molto successo. Alla fine degli anni 1870, Lodge sviluppò alcuni circuiti che sperava fossero in grado di convertire l’elettricità a bassa frequenza in luce ad alta frequenza, ma lo sforzo fallì quando Lodge e FitzGerald si resero conto che i loro schemi avrebbero creato una radiazione di frequenza troppo bassa per essere rilevata dall’occhio.

Quasi un decennio dopo, Lodge stava facendo esperimenti sulla protezione dai fulmini quando notò che la scarica di condensatori lungo i fili produceva archi. Incuriosito, cambiò la lunghezza dei fili e scoprì che poteva realizzare scintille spettacolari. Dedusse correttamente che questa era l’azione di un’onda elettromagnetica in risonanza. Trovò che con abbastanza potenza, poteva effettivamente vedere l’aria diventare ionizzata intorno ai fili, una drammatica illustrazione di un’onda stazionaria.

Ora sicuro che stava generando e rilevando onde elettromagnetiche, Lodge progettato per riferire i suoi risultati sorprendenti in una riunione della British Association, subito dopo il suo ritorno da una vacanza sulle Alpi. Ma mentre leggendo un diario sul treno fuori di Liverpool, ha scoperto che era stato scoop. Nel numero di luglio 1888 di Annalen der Physik, trovò un articolo intitolato “Über elektrodynamische Wellen im Luftraum und deren Reflexion” (“Sulle onde elettrodinamiche nell’aria e la loro riflessione”) scritto da un ricercatore tedesco poco conosciuto, Heinrich Hertz.

Il lavoro sperimentale di Hertz sull’argomento iniziò alla Technische Hochschule (ora Karlsruhe Institute of Technology) di Karlsruhe, Germania, nel 1886. Notò che qualcosa di curioso accadeva quando scaricava un condensatore attraverso un anello di filo. Una spira identica a breve distanza sviluppava archi attraverso i suoi terminali non collegati. Hertz riconobbe che le scintille nel loop non collegato erano causate dalla ricezione di onde elettromagnetiche che erano state generate dal loop con il condensatore che si scaricava.

Inspirato, Hertz usò le scintille in tali loop per rilevare onde a radiofrequenza non viste. Ha continuato a condurre esperimenti per verificare che le onde elettromagnetiche mostrano comportamenti simili alla luce di riflessione, rifrazione, diffrazione e polarizzazione. Ha eseguito una serie di esperimenti sia nello spazio libero che lungo i fili. Ha modellato un prisma lungo un metro fatto di asfalto che era trasparente alle onde radio e l’ha usato per osservare esempi relativamente grandi di riflessione e rifrazione. Lanciò le onde radio verso una griglia di fili paralleli e dimostrò che esse riflettevano o passavano attraverso la griglia a seconda dell’orientamento della griglia stessa. Questo dimostrò che le onde elettromagnetiche erano trasversali: Oscillano, proprio come la luce, in una direzione perpendicolare alla direzione della loro propagazione. Hertz ha anche riflesso le onde radio su una grande lastra di zinco, misurando la distanza tra i nulli annullati nelle onde stazionarie risultanti al fine di determinare le loro lunghezze d’onda.

Con questi dati – insieme alla frequenza della radiazione, che calcolò misurando la capacità e l’induttanza della sua antenna trasmittente simile a un circuito – Hertz fu in grado di calcolare la velocità delle sue onde invisibili, che era abbastanza vicina a quella conosciuta per la luce visibile.

Maxwell aveva postulato che la luce fosse un’onda elettromagnetica. Hertz dimostrò che probabilmente esisteva un intero universo di onde elettromagnetiche invisibili che si comportano proprio come la luce visibile e che si muovono nello spazio alla stessa velocità. Questa rivelazione fu sufficiente, per deduzione, perché molti accettassero che la luce stessa fosse un’onda elettromagnetica.

La delusione di Lodge per essere stato battuto fu più che compensata dalla bellezza e dalla completezza del lavoro di Hertz. Lodge e FitzGerald lavorarono per divulgare le scoperte di Hertz, presentandole alla British Association. Quasi immediatamente, il lavoro di Hertz continuò a informare lo sviluppo della telegrafia senza fili. Le prime incarnazioni della tecnologia impiegavano trasmettitori molto simili ai dispositivi a banda larga a spinterogeno usati da Hertz.

Finalmente gli scienziati accettarono che le onde potessero viaggiare attraverso il nulla. E il concetto di campo, all’inizio sgradevole perché privo di parti meccaniche per farlo funzionare, divenne centrale per gran parte della fisica moderna.

C’era molto altro da fare. Ma anche prima della fine del 19° secolo, grazie agli sforzi ostinati di alcuni appassionati, l’eredità di Maxwell era sicura.

Chi parla dell’autore

James C. Rautio è il fondatore di Sonnet Software.