La matematica come linguaggio: Capire il segno di uguaglianza

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È facile dimenticare che la matematica è un linguaggio per comunicare idee. Come parole, “due più tre è uguale a cinque” è ingombrante. Sostituire i numeri e le operazioni con dei simboli aiuta: “2 + 3 è uguale a 5”.

Ma possiamo fare meglio. Nel 1557, Robert Recorde inventò il segno di uguale, scritto con due linee parallele (=), perché “noe 2 thynges, can be moare equalle”.

“2 + 3 = 5” è molto più facile da leggere. Sfortunatamente, il significato di “uguale” cambia con il contesto – basta chiedere ai programmatori che devono distinguere =, == e ===.

Un “uguale” B è una conclusione generica: quale relazione specifica stiamo cercando di trasmettere?

Semplificazione

Vedo “2 + 3 = 5” come “2 + 3 può essere semplificato a 5”. Il segno di uguale trasforma una forma complessa a sinistra in una forma equivalente e più semplice a destra.

Assegnazione temporanea

Affermazioni come “velocità = 50” significano “la velocità è 50, per questo scenario”. Va bene solo per il problema in questione, e non c’è bisogno di ricordare questo “fatto”.

Connessione fondamentale

Considera una verità matematica come $a^2 + b^2 = c^2$, dove a, b e c sono i lati di un triangolo rettangolo.

Leggo questo segno di uguale come “deve essere sempre uguale a” o “può essere visto come” perché afferma una relazione permanente, non una coincidenza. L’aritmetica di $3^2 + 4^2 = 5^2$ è una semplificazione; la geometria di $a^2 + b^2 = c^2$ è una profonda verità matematica.

La formula per aggiungere 1 a n è:

\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}

che può essere vista come un tipo di riordinamento geometrico, combinatoria, media, o anche come una lista.

Definizione esatta

Affermazioni come

\displaystyle{e = \lim_{n\to\infty} \sinistra( 1 + \frac{100\%}{n} \destra)^n}

sono definizioni di nostra scelta; la parte sinistra è una scorciatoia per la parte destra. È simile all’assegnazione temporanea, ma riservata ai “fatti” che non cambieranno tra uno scenario e l’altro (e ha sempre lo stesso valore in ogni equazione, ma la “velocità” può cambiare).

I vincoli

Ecco un caso difficile. Potremmo scrivere

x + y = 5

x – y = 3

che indica condizioni che vogliamo siano vere. Lo leggo come “x + y dovrebbe essere 5, se possibile” e “x – y dovrebbe essere 3, se possibile”. Se soddisfiamo i vincoli (x=4, y=1), ottimo!

Se non possiamo soddisfare entrambi gli obiettivi (x + y = 5; 2x + 2y = 9) allora le equazioni potrebbero essere vere individualmente ma non insieme.

Esempio: Demistificare la formula di Eulero

Districare il segno di uguale mi ha aiutato a decodificare la formula di Eulero:

\displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}

Una strana bestia, davvero. Che tipo di “uguale” è?

Un pedante potrebbe dire che è solo una semplificazione e tirare fuori il calulo per dimostrarlo. Questo non è illuminante: c’è una relazione fondamentale da scoprire.

e^i*pi si riferisce alla stessa destinazione di -1. Due dita che puntano alla stessa luna.

Sono entrambi modi per descrivere “l’altro lato del cerchio unitario, a 180 gradi di distanza”. -1 ci va a piedi, calpestando direttamente l’erba, mentre e^i*pi prende la strada panoramica e ruota attraverso la dimensione immaginaria. Questo funziona per qualsiasi punto del cerchio: ruota lì, o si muove in linea retta.

la formula di eulero's formula

Due percorsi con la stessa destinazione: ecco cosa significa la loro uguaglianza. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection (“simplifies to”, “has been chosen to be”, “refers to the same concept as”).

Happy math.

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