Quanto è buono il tuo punteggio al bowling?
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“Tutto andrà bene se userai la tua mente per le tue decisioni, e la mente solo per le tue decisioni”. Dal 2007, ho dedicato la mia vita a condividere la gioia della teoria dei giochi e della matematica. MindYourDecisions ha ora più di 1.000 articoli gratuiti e senza pubblicità grazie al supporto della comunità! Aiuta e ottieni l’accesso anticipato ai post con un impegno su Patreon.
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Di solito gioco a bowling con un punteggio intorno a 130, ma l’altro giorno ho fatto sei strike e mi sono ritrovato con 215.
Mi sono preso un momento per gioire del punteggio alto, ma poi ho iniziato a pensare in modo più critico. Ero curioso di sapere quanto fosse buono il punteggio in senso statistico.
Ero con alcuni amici matematici e la nostra discussione ha portato a molte domande.
Quante diverse partite di bowling sono possibili? Qual è il punteggio medio di bowling? In quanti modi si può raggiungere ogni punteggio di bowling (qual è la distribuzione dei punteggi di bowling)?
Ho fatto un po’ di ricerche e mi ha fatto piacere sapere che la gente ha già fatto i conti per rispondere a queste domande. Ecco un po’ di matematica interessante.
Scrivere un gioco di bowling in termini matematici
Il primo passo del problema è tradurre un gioco di bowling in matematica. L’idea è di sviluppare una notazione breve per descrivere in modo compatto il gioco. Seguirò la notazione sviluppata in questo articolo “Is the Mean Bowling Score Awful.”
Considera il primissimo frame di una partita. Quali sono i possibili risultati quando lanci la palla?
Una possibilità è che tu abbatta tutti i 10 birilli con uno strike e il primo frame finisce.
L’altra possibilità è che tu non abbatta tutti i 10 birilli. Allora hai una seconda possibilità di colpire i birilli rimanenti. Se colpisci i birilli rimanenti, è uno spare.
Matematicamente possiamo modellare le bocce come un insieme di due numeri: il numero di birilli abbattuti sul primo lancio, e il numero sul secondo. Possiamo scriverlo come un insieme ordinato (primo lancio, secondo lancio) = (x , y).
Se si abbattono 3 birilli e poi 4, l’insieme è (3, 4). Oppure se si abbattono 3 e poi 7 per fare uno spare, si scriverebbe (3,7)
In uno strike si abbattono tutti i 10 birilli e non si ottiene un secondo lancio. Possiamo scrivere questo caso speciale come (10, 0) con la consapevolezza che non hai mai fatto un secondo lancio.
Con questa notazione, possiamo descrivere in modo compatto i possibili risultati nel primo frame. I risultati possono essere scritti come una coppia ordinata di due numeri, dove entrambi i numeri sono zero o positivi, e la somma dei due numeri è al massimo 10, poiché il massimo che si può abbattere in un frame è 10 birilli.
Nella notazione degli insiemi, questo si scrive
I primi nove frame del gioco operano nello stesso modo.
Il decimo frame del gioco è leggermente diverso. Se si ottiene uno strike nel primo lancio, o uno spare nel secondo lancio, si ottiene di fare un terzo lancio bonus nel decimo frame. Perciò il decimo frame deve essere rappresentato da tre numeri, con relazioni speciali a seconda che venga fatto uno strike o uno spare.
Ci sono quattro diverse possibilità:
-Due lanci vengono fatti, meno di 10 vengono abbattuti (nessun terzo lancio)
-Il secondo lancio fa uno spare
-Il primo lancio è uno strike ma il secondo no
-Due strike vengono fatti
La notazione diventa più complicata, ma essenzialmente è come si scriverebbero queste quattro possibilità nella notazione di set. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Poi moltiplichiamo il numero di modi per ottenere il numero di partite totali.
L’insieme A è il numero di modi in cui due numeri interi positivi sommano a 10 o meno. Questo è un classico problema di combinatoria.
C’è un modo intelligente per contare il numero di soluzioni. Ho trovato una derivazione via Google Books per trovare il numero di modi in cui n numeri interi non negativi sommano a un intero r:
Link a pagina 46 di Principles and techniques in combinatorics at Google Books
La formula è C(r + n -1, r)
Nel nostro set di bowling, vogliamo trovare il modo in cui due numeri (n = 2) sommano a 10 o meno (r = 10, 9, 8, …, 0).
Vogliamo calcolare la formula per ogni valore di r e poi sommarli tutti. Questo è meno lavoro di quanto sembri.
Per r = 10, vediamo che la formula è C(11, 10) che è 11. Per r = 9, la formula diventa C(10, 9) che è 10. Lo schema continua per valori inferiori di r, quindi alla fine vogliamo sommare 11 + 10 + 9 + … 1.
Questo è facilmente calcolabile come 66. Così ci sono 66 modi per ognuno dei primi nove fotogrammi.
Vogliamo ora conoscere il numero di modi per il decimo fotogramma.
Il processo è lo stesso di prima. Risparmierò i dettagli cruenti e dirò solo che la risposta è 241.
Ora possiamo calcolare il numero totale di partite di bowling moltiplicando i numeri insieme.
Il numero totale di partite di bowling è (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), che è circa 5.7 x 1018
Questo non è neanche lontanamente vicino al numero di possibili partite di scacchi, ma è comunque un numero molto grande.
Per metterlo in prospettiva, ci vorrebbe il mondo intero (6,7 x 109), giocando una partita ogni giorno, più di 2,3 milioni di anni per giocare così tante partite diverse.
Qual è il punteggio medio del bowling?
Questa parte diventa ancora più complicata matematicamente.
Il trucco consiste nel convertire i set in punteggi, basandosi sulle regole speciali per gli spare (bonus del lancio successivo) e gli strike (bonus dei due lanci successivi).
Poi la media può essere calcolata sommando tutti i punteggi possibili per il numero di partite, che è stato ricavato prima.
Il punteggio medio del bowling risulta essere circa 80 (o per essere precisi, più come 79.7).
Prendi questo come una rassicurazione che anche un punteggio modesto come 100 è sopra la media!
I dettagli della derivazione sono spiegati nel seguente estratto:
Link to Mean bowling score at Google Books
L’articolo è datato perché finisce con il lasciare aperta la questione di determinare la distribuzione completa dei punteggi di bowling. Questo in effetti è stato fatto.
Qual è la distribuzione dei punteggi di bowling?
La domanda finale e veramente difficile è trovare la distribuzione del bowling.
Ovvero, per ogni punteggio n, qual è il numero di modi s(n) per ottenere quel punteggio.
Ci sono alcuni casi in cui la risposta è ovvia. C’è solo 1 modo per ottenere un punteggio di 0, come c’è solo 1 modo per ottenere 300, o 299, o 298, e così via fino a 291.
Gli altri casi sono più complicati da capire. Ci sono 20 modi in cui si può ottenere 1, e ci sono 11 modi per ottenere 290.
Capire l’intera distribuzione richiede un calcolo intelligente. I risultati sono descritti in questa meravigliosa pagina web che contiene il seguente bel grafico:
fonte immagine: all about bowling scores
Nota che i punteggi del bowling sono fortemente sbilanciati! Punteggi superiori a 120 sono meno probabili, poiché richiedono che un giocatore ottenga un numero ragionevole di spares e strikes.
Un altro modo di pensare a questo è che anche un modesto punteggio di 115 è nel 99° percentile.
Ricordatelo la prossima volta che vai al bowling. Data la gamma di possibili punteggi al bowling, il tuo punteggio è probabilmente migliore di quanto pensi!
(I percentili cambiano se basiamo la distribuzione su dati reali di bowling. Purtroppo non sono riuscito a trovare nessuna statistica al riguardo)
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