Rapporti e proporzioni e come risolverli

Parliamo di rapporti e proporzioni. Quando parliamo della velocità di un’auto o di un aereo la misuriamo in miglia all’ora. Questo è chiamato tasso ed è un tipo di rapporto. Un rapporto è un modo per confrontare due quantità usando la divisione come in miglia all’ora dove confrontiamo miglia e ore.

Un rapporto può essere scritto in tre modi diversi e tutti sono letti come “il rapporto tra x e y”

$x: to: y$$

$x:y$

$$frac{x}{y}$

Una proporzione d’altra parte è un’equazione che dice che due rapporti sono equivalenti. Per esempio, se una confezione di impasto per biscotti produce 20 biscotti, allora sarebbe lo stesso che dire che due confezioni producono 40 biscotti.

$$frac{20}{1}=\frac{40}{2}$

Una proporzione si legge come “x sta a y come z sta a w”

$$frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \frac{x}{100}={color{green} {100\, \cdot }}, \frac{2}{20}$$

$x=\frac{200}{20}$

$x=$x=10$

Se il numero sconosciuto è nel denominatore possiamo usare un altro metodo che coinvolge il prodotto incrociato. Il prodotto incrociato è il prodotto del numeratore di uno dei rapporti e il denominatore del secondo rapporto. Il prodotto incrociato di una proporzione è sempre uguale

Se usiamo di nuovo l’esempio con l’impasto dei biscotti usato sopra

$$$frac{{color{verde} {20}}}{color{blu} {1}}=\frac{color{blu} {

Si dice che in una proporzione se

$${{color{blu} {1}}{color{blu} {40}={color{blu} {2}{color{green} {20}}=40$

Si dice che in una proporzione se

$$$frac{x}{y}={frac{z}{w} \dove: y,w\neq 0$$

$xw=yz$

Se guardi una mappa ti dice sempre in uno degli angoli che 1 pollice della mappa corrisponde ad una distanza molto più grande nella realtà. Questo si chiama scaling. Usiamo spesso il ridimensionamento per rappresentare vari oggetti. Lo scaling consiste nel ricreare un modello dell’oggetto e condividerne le proporzioni, ma dove le dimensioni differiscono. Si può scalare verso l’alto (ingrandire) o verso il basso (ridurre). Per esempio, la scala di 1:4 rappresenta un quarto. Così qualsiasi misura che vediamo nel modello sarebbe 1/4 della misura reale. Se vogliamo calcolare l’inverso, dove abbiamo un muro alto 20 piedi e vogliamo riprodurlo in scala 1:4, calcoliamo semplicemente:

$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$

In un modello in scala 1:X dove X è una costante, tutte le misure diventano 1/X – della misura reale. La stessa matematica si applica quando vogliamo ingrandire. Rappresentando qualcosa in scala 2:1 tutte le misure diventano il doppio della misura reale. Dividiamo per 2 quando vogliamo trovare la misura reale.

Lezione video

Trovare x

$$frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$