Scalare (matematica)

Luglio 7, 2021admin

Gli scalari sono numeri reali usati in algebra lineare, al contrario dei vettori. Questa immagine mostra un vettore euclideo. Le sue coordinate x e y sono scalari, così come la sua lunghezza, ma v non è uno scalare.

Scalari di spazi vettorialiModifica

Uno spazio vettoriale è definito come un insieme di vettori, un insieme di scalari e un’operazione di moltiplicazione scalare che porta uno scalare k e un vettore v a un altro vettore kv. Per esempio, in uno spazio di coordinate, la moltiplicazione scalare k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\punti ,v_{n})}

$k(v_1, v_2, \punti, v_n)$

produce ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\punti ,kv_{n})}

$(kv_1, kv_2, \punti, k v_n)$

. In uno spazio di funzioni (lineare), kƒ è la funzione x ↦ k(ƒ(x)).

Gli scalari possono essere presi da qualsiasi campo, compresi i numeri razionali, algebrici, reali e complessi, così come i campi finiti.

Scalari come componenti vettorialiModifica

Secondo un teorema fondamentale dell’algebra lineare, ogni spazio vettoriale ha una base. Ne segue che ogni spazio vettoriale su un campo scalare K è isomorfo a uno spazio vettoriale di coordinate in cui le coordinate sono elementi di K. Per esempio, ogni spazio vettoriale reale di dimensione n è isomorfo allo spazio reale n-dimensionale Rn.

Scalari in spazi vettoriali normatiModifica

Alternativamente, uno spazio vettoriale V può essere dotato di una funzione di norma che assegna a ogni vettore v in V uno scalare ||v||. Per definizione, moltiplicando v per uno scalare k si moltiplica anche la sua norma per |k|. Se ||v|| è interpretato come la lunghezza di v, questa operazione può essere descritta come scalare la lunghezza di v per k. Uno spazio vettoriale dotato di una norma è chiamato uno spazio vettoriale normato (o spazio lineare normato).

La norma è solitamente definita come un elemento del campo scalare K di V, che restringe quest’ultimo ai campi che supportano la nozione di segno. Inoltre, se V ha dimensione 2 o più, K deve essere chiuso sotto la radice quadrata, così come le quattro operazioni aritmetiche; così i numeri razionali Q sono esclusi, ma il campo surd è accettabile. Per questa ragione, non tutti gli spazi di prodotti scalari sono spazi vettoriali normati.

Scalari in moduliModifica

Quando il requisito che l’insieme degli scalari formi un campo è rilassato in modo che debba solo formare un anello (in modo che, per esempio, la divisione di scalari non debba essere definita, o gli scalari non debbano essere commutativi), la struttura algebrica più generale risultante è chiamata un modulo.

In questo caso gli “scalari” possono essere oggetti complicati. Per esempio, se R è un anello, i vettori dello spazio prodotto Rn possono essere trasformati in un modulo con le matrici n×n con voci da R come scalari. Un altro esempio viene dalla teoria dei manifesti, dove lo spazio delle sezioni del fascio tangente forma un modulo sull’algebra delle funzioni reali sul manifold.

Trasformazione scalareModifica

La moltiplicazione scalare di spazi vettoriali e moduli è un caso speciale di scalatura, un tipo di trasformazione lineare.

Operazioni scalari (informatica)Edit

Operazioni che si applicano a un singolo valore alla volta.

Processore scalare contro processore vettoriale o processore superscalare
Variabile (informatica) a volte chiamata anche “scalare”