The Distance Formula
= √(x – a)² + (y – b)²
As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be
| dist((2, -1), (-2, 2)) | = √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)² | |
| = √(2 + 2)² + (-1 – 2)² | ||
| = √(4)² + (-3)² | ||
| = √16 + 9 | ||
| = √25 | ||
| = 5. |
The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram
The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Con questa piccola aggiunta otteniamo un triangolo rettangolo con gambe 3 e 4. Per il teorema di Pitagora, il quadrato dell’ipotenusa è (ipotenusa)² = 3² + 4². Il che dà come lunghezza dell’ipotenusa 5, uguale alla distanza tra i due punti secondo la formula della distanza. Naturalmente è sempre così: il segmento di linea retta la cui lunghezza è presa come distanza tra i suoi punti estremi serve sempre come ipotenusa di un triangolo rettangolo (in realtà, di un numero infinito di essi. Abbiamo solo scelto il più conveniente.)
Quanto è buona la formula della distanza (euclidea) per misurare le distanze reali? Dipende dalle circostanze. Nel piano – dato che la Terra è rotonda, questo significa entro aree relativamente piccole della superficie terrestre – è abbastanza buona, purché la distanza sia esattamente quella che si vuole stimare. Se la domanda è: quanto velocemente si può andare da un punto all’altro muovendosi a una data velocità, la formula euclidea può non essere molto utile per fornire la risposta. Infatti, in una città – solo per fare un esempio – è spesso impossibile spostarsi da un punto direttamente all’altro. Ci sono edifici, strade trafficate, recinzioni e quant’altro, di cui tenere conto. In una città, si trova spesso che la formula della distanza in taxi
dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|
è più utile. In matematica, la distanza euclidea è la più fondamentale. Come dimostra una delle prove meccaniche del teorema di Pitagora, lo stesso vale anche in fisica, sebbene in entrambe le scienze non sia l’unica formula di distanza usata.
Distanza taxi/blocco città.
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