スカラー (数学)

7月 7, 2021admin

スカラーはベクトルに対して線形代数で用いられる実数であります。この画像はユークリッド・ベクトルを示しています。座標 x と y はスカラーで、長さもスカラーですが、v はスカラーではありません。

ベクトル空間のスカラー編集

ベクトル空間は、ベクトルの集合、スカラーの集合、スカラーkとベクトルvを別のベクトルkvに取るスカラー倍算と定義されています。例えば、座標空間において、スカラー倍算k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})} は、以下のようになります。

$k(v_1, v_2, \dots, v_n)$

yields ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})} } {p> {displaystyle (kv_1, kv2},|div_{n})} yields ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {p> div

$(kv_1, kv_2, \dots, k v_n)$

. 線形）関数空間において、kƒは関数x ↦ k(ƒ(x))である。

スカラーは有理数、代数、実数、複素数、および有限体など、あらゆる場から取ることができます。

ベクトル成分としてのスカラー編集

線形代数の基本定理によると、すべてのベクトル空間には基底が存在します。たとえば、次元 n のすべての実数ベクトル空間は n 次元実数空間 Rn に同型です。

Scalars in normed vector spacesEdit

あるいは、ベクトル空間 V には V のすべてのベクトル v にスカラー ||v|| を割り当てるノルム関数を装備させることができます。定義により、v にスカラー k を掛けると、そのノルムも |k| で掛けられる。ノルムを備えたベクトル空間はノルム化ベクトル空間 (またはノルム化線形空間) と呼ばれます。

ノルムは通常 V のスカラー場 K の要素であると定義され、後者は符号の概念をサポートする場に制限されます。また、Vが2次元以上の場合、Kは四則演算のほか平方根で閉じていなければならないので、有理数Qは除外されますが、surd場は許容されます。このため、すべてのスカラー積空間がノルム化ベクトル空間というわけではありません。

Scalars in modulesEdit

スカラーのセットが場を形成するという要件が緩和されて、それが環を形成するだけでよい場合（たとえば、スカラーの分割が定義されていない、またはスカラーが可換でない）、得られるより一般的な代数構造は、モジュールと呼ばれます。例えば、Rが環の場合、積空間Rnのベクトルは、Rからのエントリーを持つn×n行列をスカラーとするモジュールとすることができる。

Scaling transformationEdit

ベクトル空間とモジュールのスカラー倍算は、線形変換の一種であるスケーリングの特殊なケースです。

スカラー演算 (コンピューターサイエンス)

一度に単一の値に適用する演算。