ボーリングのスコアはどれくらい？
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「決断に頭を使い、決断だけに頭を使えば、すべてがうまくいくだろう」。 2007年以来、私はゲーム理論と数学の楽しさを伝えることに人生を捧げてきました。 MindYourDecisionsは、コミュニティの支援により、広告なしの無料記事が1,000本以上となりました!
私は普段、130前後のスコアでボウリングをしていますが、先日、6ストライクで215を出しました。
数学に関心のある友人たちと一緒に、さまざまな疑問について話し合いました。 ボーリングの平均スコアは?
私は少し調べてみたのですが、これらの質問に答えるために、人々がすでに計算を行っていることを知り、嬉しくなりました。
ボウリング ゲームを数学用語で書く
この問題の最初のステップは、ボウリング ゲームを数学に翻訳することです。 ゲームをコンパクトに記述するための短針記法を開発することです。 この記事「ボウリングの平均スコアはひどいのか」で開発した表記法を踏襲します。
ゲームの一番最初のフレームを考えてみましょう。
1つの可能性は、ストライクで10本のピンをすべて倒し、最初のフレームが終了します。
もう1つの可能性は、10本のピンすべてを倒さないことです。
もう1つの可能性は、10本のピンをすべて倒せなかった場合です。
数学的には、ボウルを 2 つの数値のセットとしてモデル化できます: 最初のスローでノックダウンしたピンの数と 2 番目のスローの数です。
これを順序付き集合 (第 1 投、第 2 投) = (x , y) として書くことができます。 また、3本倒して、7本倒してスペアを作る場合は、(3,7)と書きます。
ストライクでは、10本すべてのピンを倒して、2投目を得られません。
この表記法により、最初のフレームで起こりうる結果をコンパクトに記述することができます。 ここで、両方の数値はゼロまたは正であり、2 つの数値の合計は最大で 10 になります。
集合表記では、これは
ゲームの最初の 9 フレームは同じ方法で動作します。
ゲームの 10 フレームは少し異なります。 1 投目でストライク、2 投目でスペアを取ると、10 フレーム目でボーナスとして 3 投目を行うことができます。
4つの異なる可能性があります。
-2投して、10個未満しか倒さない (3投目はしない)
-2投目でスペアを作る
-1投目はストライクだが2投目はそうではない
-2投してストライク
表記が複雑になりますが、基本的にはセット表記でこの4つをどう書き表すかということです。 Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets.
集合 A は、2 つの正の整数の和が 10 以下となる方法の数です。 これは古典的な組み合わせ論的問題です。
解の数を数えるには、巧妙な方法があります。
Google Books の Principles and techniques in combinatorics の 46 ページへのリンク
式は C(r + n -1, r)
ボーリング セットでは、2 つの数 (n = 2) の合計が 10 以下 (r = 10, 9, 8, …, 0) になる方法を探したいのですが、これはどうしたらいいですか?
私たちは、r の各値の式を計算し、それらをすべて合計したいのです。
r = 10 の場合、式は C(11, 10) で 11 になることがわかります。 r = 9 の場合、式は C(10, 9) となり、10 になります。 このパターンは r が低い値でも続くので、最終的には 11 + 10 + 9 + … 1 を合計したいのです。
これは 66 として容易に計算できます。
次に、10 番目のフレームの方法の数を知りたいと思います。
プロセスは以前と同じです。
次に、これらの数字を掛け合わせて、ボウリング ゲームの総数を計算します。
ボウリング ゲームの総数は、(66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241) で、およそ 5.7 x 1018
これは、可能なチェスのゲームの数には遠く及びませんが、それでも本当に大きな数です。
それを考慮すると、これだけの種類のゲームを行うには、毎日ゲームを行う全世界 (6.7 x 109) で、230 万年以上かかります。
ボウリングの平均スコアは？
この部分は数学的にさらに複雑になっています。
トリックは、スペア (次のスローのボーナス) とストライク (次の 2 スローのボーナス) の特別ルールに基づいて、セットをスコアに変換することです。
それから、先に導いたゲーム数ですべての可能なスコアを合計することによって、平均を計算できます。
この導出の詳細は、以下の抜粋で説明されています:
Link to Mean bowling score at Google Books
この記事は、ボウリングのスコアの全分布を決定するという未解決問題を残して終わっているため、古いものとなっています。
ボウリングのスコアの分布はどうなっているのか
最後の、本当に難しい問題は、ボウリングの分布を見つけることです。
つまり、それぞれのスコア n に対して、そのスコアを達成する方法 s(n) の数は何通りあるかということです。 300、299、298 など、291 まであるように、0 のスコアを得る方法は 1 つだけです。
他のケースは、理解するのがより複雑です。
分布全体を把握するためには、巧妙な計算が必要です。
image source: all about bowling scores
ボーリングのスコアは大きく偏っていることに注意してください!
このことについて考える別の方法は、115 という控えめなスコアでさえ、99 パーセンタイルであるということです。
可能なボウリングのスコアの範囲を考えると、あなたのスコアはおそらくあなたが思っているよりも良いものです
(実際のボウリング データに基づいて分布を作成すると、パーセンタイルは変化します。
(実際のボウリング データに基づくと、パーセンタイルは変わります。残念ながら、これに関する統計は見つかりませんでした。)
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