限界分布

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限界分布とは何か

以下のビデオを見るか記事を読んでください：

技術的な定義は、見ていて少し頭が痛くなります:

限界分布の定義 = X と Y を離散確率変数、f (x,y) を (x,y) における
両者の結合確率分布の値とすると、以下の関数によって与えられるものです。
g(x) = Σy f (x,y) と h(y) = Σx f (x,y) はそれぞれXとYの限界分布である。

方程式が得意なら、おそらくこれだけ知っていれば十分でしょう。 これは、周辺分布を見つける方法を教えてくれます。

限界分布は、確率分布表の余白に表示されることからその名前がつきました。

もちろん、これほど単純ではありません。 古い度数分布表を見て、最後の列 (または行) が “限界分布” である、と言うことはできないのです。 限界分布はいくつかのルールに従います:

• 分布は二変量データからのものでなければなりません。 上の表では、確率変数 i と j は 2 つのサイコロの目から得られています。
• 限界分布は、確率変数の 1 つだけに興味がある場合です。 言い換えれば、X か Y のいずれかです。上の確率表を見ると、1 つの変数の合計確率が下の行に、他の合計確率が右の列にリストアップされています。

限界分布と条件付き分布の違い

条件付き分布は、データ セット全体の特定のサブ集団にのみ興味がある場合です。 サイコロを振る例では、これは、「2を振る」または「6を振る」かもしれません。 下の画像は、2 つの強調された部分集団 (したがって、2 つの条件付き分布) を示しています。

限界分布確率を計算する方法

例題を挙げましょう。
解答：
ステップ1：総人数を数えます。
ステップ2：各ペットの種類を好む人の数を数え、その比率を確率に変える：
猫を好む人：7/22 = .32
魚を好む人：7/22 = .32
犬を好む人：8/22 = .36
ヒント：確率がすべて1に加算されるかどうか確認することで答えを確認できます。

質問2（相互排他事象）です。 P(A) = 0.20, P(b) = 0.70, および両方のイベントが相互に排他的である場合, P(B’∩A), P(B’∩A’) および P(B’) を求める。
この表記に慣れていない場合, P(A’) とは “not A”, または補語を意味しています.

Answer:
確率は個別に計算できますが、表を使って計算する方がはるかに簡単です。

ステップ 1: 与えられた情報で頻度表を記入します。 確率の合計は1になるはずなので、それを余白（合計）に加えてもよいでしょう。 単純な足し算・代数で余白を埋めます。 例えば、一番下の行では、0.70 + x = 1.00 なので、B’ の余白合計は 0.30 でなければなりません。

ステップ 2: 表の左上で、AとBの交点を0と追加します。

Step 3: 残りの空欄を簡単な足し算・代数で埋めていきます。

表から読み解く（2つの記載確率の交点を見る）：
P（B’∩A）=0.20
P（B’∩A’) = 0.10
P（B∩A’) = 0.70.

例題3（独立事象）…

例題3（独立事象）…B’∩A（B’∩A’) = 0.70.
B’∩A（B’∩A’) = 0.70.p P(A)=0.20, P(b)=0.70, 両イベントが独立である場合、P(B’∩A), P(B’∩A’), P(B∩A’) を求める

解答です。 今回はAとBが独立しているので、両方が同時に起こる確率は0.14（P(A)*P(B) = 0.20 * 0.70 = 0.14）である。 この値は左上（AとBの交点）に入る。 表の残りを上記の手順とまったく同じように記入します。

表から答えを読み取ります (2 つの確率の交差点から):
P(B’∩A): 0.06
P(B’∩A’): 0.24
P(B∩A’): 0.56.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 31st ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp.536 and 571, 2002.
Agresti A. (1990) Categorical Data Analysis. John Wiley and Sons, New York.
Everitt, B. S.; Skrondal, A. (2010), The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press.
Lindstrom, D. (2010).「統計学」. Schaum’s Easy Outline of Statistics, Second Edition (Schaum’s Easy Outlines) 第2版. McGraw-Hill Education

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