MacTutor

Biografie

Een van de invloedrijkste Griekse astronomen en geografen van zijn tijd, Ptolemaeus stelde de geocentrische theorie op in een vorm die 1400 jaar stand heeft gehouden. Van alle oude Griekse wiskundigen heeft zijn werk echter meer discussie en argumenten opgeleverd dan enig ander. Wij zullen de argumenten hieronder bespreken, want afhankelijk van welke juist is, stellen zij Ptolemaeus in een zeer verschillend licht. De argumenten van sommige historici tonen aan dat Ptolemaeus een wiskundige van de bovenste plank was, argumenten van anderen tonen aan dat hij niet meer was dan een voortreffelijk verteller, maar veel erger nog, sommigen beweren zelfs dat hij een misdaad beging tegen zijn collega-wetenschappers door de ethiek en integriteit van zijn beroep te verraden.
We weten heel weinig van Ptolemaeus’ leven. Hij deed astronomische waarnemingen vanuit Alexandrië in Egypte in de jaren 127-41 na Christus. In feite werd de eerste waarneming die we precies kunnen dateren door Ptolemaeus gedaan op 26 maart 127, terwijl de laatste werd gedaan op 2 februari 141. Theodore Meliteniotes beweerde rond 1360 dat Ptolemaeus in Hermiou was geboren (dat is in Boven-Egypte en niet in Beneden-Egypte, waar Alexandrië ligt), maar omdat deze bewering meer dan duizend jaar nadat Ptolemaeus leefde voor het eerst wordt gedaan, is het betrekkelijk onwaarschijnlijk dat zij waar is. In feite is er geen bewijs dat Ptolemaeus ooit ergens anders was dan in Alexandrië.
Zijn naam, Claudius Ptolemaeus, is natuurlijk een mengeling van het Grieks-Egyptische “Ptolemaeus” en het Romeinse “Claudius”. Dit zou erop wijzen dat hij afstamde van een Griekse familie die in Egypte woonde en dat hij burger van Rome was, wat het gevolg zou zijn van het feit dat een Romeinse keizer die ‘beloning’ aan een van Ptolemaeus’ voorouders had gegeven.
We weten dat Ptolemaeus gebruik maakte van waarnemingen van ‘Theon de wiskundige’, en dit was vrijwel zeker Theon van Smyrna, die vrijwel zeker zijn leermeester was. Dit zou zeker zinvol zijn omdat Theon zowel een waarnemer als een wiskundige was die over astronomische onderwerpen zoals conjuncties, verduisteringen, occultaties en transits had geschreven. De meeste van Ptolemaeus’ vroege werken zijn opgedragen aan Syrus, die ook een van zijn leermeesters in Alexandrië kan zijn geweest, maar van Syrus is niets bekend.
Als deze feiten over Ptolemaeus’ leermeesters juist zijn, dan had hij in Theon zeker geen groot geleerde, want Theon schijnt het astronomische werk dat hij beschrijft niet grondig te hebben begrepen. Aan de andere kant had Alexandrië een traditie op het gebied van de wetenschap, wat zou betekenen dat zelfs als Ptolemaeus geen toegang had tot de beste leraren, hij wel toegang had tot de bibliotheken waar hij het waardevolle referentiemateriaal zou hebben gevonden waarvan hij goed gebruik heeft gemaakt.

De belangrijkste werken van Ptolemaeus zijn bewaard gebleven en wij zullen ze in dit artikel bespreken. Het belangrijkste is echter de Almagest Ⓣ, een verhandeling in dertien boeken. We moeten meteen zeggen dat, hoewel het werk nu bijna altijd bekend staat als de Almagest, dat niet de oorspronkelijke naam was. De oorspronkelijke Griekse titel luidde “De wiskundige verzameling”, maar deze titel werd al spoedig vervangen door een andere Griekse titel, die “De grootste verzameling” betekent. Deze werd in het Arabisch vertaald als “al-majisti” en van hieruit werd de titel Almagest aan het werk gegeven toen het van het Arabisch naar het Latijn werd vertaald.
De Almagest is het vroegste werk van Ptolemaeus en geeft in detail de wiskundige theorie van de bewegingen van de zon, de maan en de planeten. Ptolemaeus leverde zijn meest originele bijdrage door details te geven voor de bewegingen van elk van de planeten. De Almagest werd pas vervangen een eeuw nadat Copernicus zijn heliocentrische theorie presenteerde in De revolutionibus van 1543. Grasshoff schrijft in :-

Ptolemaeus’ “Almagest” deelt met Euclides’ “Elementen” de eer de langst in gebruik zijnde wetenschappelijke tekst te zijn. Vanaf het ontstaan in de tweede eeuw tot aan de late Renaissance heeft dit werk de astronomie als wetenschap bepaald. In die tijd was de “Almagest” niet alleen een werk over astronomie; het onderwerp werd gedefinieerd als datgene wat in de “Almagest” wordt beschreven.

Ptolemaeus beschrijft zelf heel duidelijk wat hij probeert te doen met het schrijven van het werk (zie bijvoorbeeld ):-

Wij zullen trachten alles op te tekenen wat wij tot op heden menen ontdekt te hebben; wij zullen dit zo beknopt mogelijk doen en op een manier die te volgen is voor hen die reeds enige vorderingen op dit gebied hebben gemaakt. Omwille van de volledigheid in onze behandeling zullen wij alles wat nuttig is voor de theorie van de hemelen in de juiste volgorde uiteenzetten, maar om onnodige lengte te vermijden zullen wij slechts herhalen wat door de ouden afdoende is vastgesteld. De onderwerpen echter die door onze voorgangers in het geheel niet, of niet zo nuttig als zij hadden kunnen zijn, behandeld zijn, zullen wij naar beste vermogen uitvoerig bespreken.

Ptolemaeus rechtvaardigt allereerst zijn beschrijving van het heelal op basis van het door Aristoteles beschreven systeem van de aarde. Het is een wereldbeeld dat gebaseerd is op een vaste aarde waaromheen elke dag de bol van de vaste sterren draait, die de bollen van zon, maan en planeten met zich meedraagt. Ptolemaeus gebruikte geometrische modellen om de posities van de zon, de maan en de planeten te voorspellen, met behulp van combinaties van cirkelvormige bewegingen die bekend staan als epicykels. Na dit model te hebben opgesteld, beschrijft Ptolemaeus de wiskunde die hij in de rest van het werk nodig heeft. Hij introduceert met name goniometrische methoden die zijn gebaseerd op de koordefunctie Crd (die met de sinusfunctie is verbonden door sina=1120sin a = \grootfrac{1}{120}normaliseertina=1201(Crd 2aaa).

Ptolemaeus bedenkt nieuwe meetkundige bewijzen en stellingen. Met behulp van koorden van een cirkel en een ingeschreven 360-gon verkreeg hij de benadering

en, gebruikmakend van √3 = koorde 60°,

Hij gebruikte formules voor de Crd-functie die analoog zijn aan onze formules voor sin(a+b),sin(a-b)sin(a+b), sin(a – b)sin(a+b),sin(a-b) en om een tabel te maken van de Crd-functie met intervallen van 12
Dit beslaat de eerste twee van de 13 boeken van de Almagest en daarna geven we, opnieuw citerend uit de inleiding, Ptolemaeus’ eigen beschrijving van hoe hij de rest van de wiskundige astronomie in het werk wilde ontwikkelen (zie bijvoorbeeld ):-

we moeten de bewegingen van de zon en van de maan doornemen, en de verschijnselen die met deze bewegingen gepaard gaan; want het zou onmogelijk zijn om de theorie van de sterren grondig te onderzoeken zonder eerst deze zaken te doorgronden. Onze laatste taak in deze benadering is de theorie van de sterren. Ook hier zou het passend zijn om eerst de sfeer van de zogenaamde ‘vaste sterren’ te behandelen, en daarna de vijf ‘planeten’, zoals ze worden genoemd.

Bij het onderzoek naar de theorie van de zon vergelijkt Ptolemaeus zijn eigen waarnemingen van equinoxen met die van Hipparchus en de eerdere waarnemingen Meton in 432 v. Chr. Hij bevestigde de lengte van het tropische jaar op 1300 dagen minder dan 36514365 dagen, de exacte waarde die Hipparchus had verkregen. Omdat, zoals Ptolemaeus zelf wist, de nauwkeurigheid van de rest van zijn gegevens sterk afhing van deze waarde, heeft het feit dat de werkelijke waarde 1128 dagen minder is dan 36514365 dagen wel fouten in de rest van het werk veroorzaakt. Wij zullen hieronder nader ingaan op de beschuldigingen die tegen Ptolemaeus zijn ingebracht, maar dit illustreert duidelijk de gronden voor deze beschuldigingen, want Ptolemaeus moest een fout van 28 uur hebben in zijn waarneming van de equinox om deze fout te produceren, en zelfs gezien de nauwkeurigheid die kon worden verwacht met antieke instrumenten en methoden, is het in wezen ongelooflijk dat hij een fout van deze omvang kon hebben gemaakt. Een goede bespreking van deze vreemde fout is te vinden in het uitstekende artikel .
Op basis van zijn waarnemingen van zonnewendes en nachteveningen vond Ptolemaeus de lengtes van de seizoenen en op basis daarvan stelde hij een eenvoudig model voor de zon voor, dat een cirkelvormige beweging met uniforme hoeksnelheid inhield, maar waarbij de aarde zich niet in het middelpunt van de cirkel bevond, maar op een afstand, de excentriciteit genaamd, van dit middelpunt. Deze theorie van de zon vormt het onderwerp van Boek 3 van de Almagest.

In de Boeken 4 en 5 geeft Ptolemaeus zijn theorie van de maan. Hier volgt hij Hipparchus die drie verschillende perioden had bestudeerd die men met de beweging van de maan in verband kon brengen. Er is de tijd die de maan nodig heeft om naar dezelfde lengtegraad terug te keren, de tijd die de maan nodig heeft om naar dezelfde snelheid terug te keren (de anomalie) en de tijd die de maan nodig heeft om naar dezelfde breedtegraad terug te keren. Evenals Hipparchus bespreekt Ptolemaeus ook de synodische maand, dat wil zeggen de tijd tussen opeenvolgende opposities van zon en maan. In Boek 4 geeft Ptolemaeus het epicykiemodel van Hipparchus voor de beweging van de maan, maar hij merkt op, zoals Hipparchus zelf had gedaan, dat er kleine discrepanties zijn tussen het model en de waargenomen parameters. Hoewel hij de discrepanties opmerkt, lijkt Hipparchus geen beter model te hebben uitgewerkt, maar Ptolemaeus doet dat wel in Boek 5, waar hij een model geeft dat duidelijk beter is dan het model van Hipparchus. Een interessante bespreking van Ptolemeus’ theorie van de maan wordt gegeven in .
Na een theorie voor de beweging van de zon en de maan te hebben gegeven, was Ptolemeus in staat deze toe te passen om een theorie van verduisteringen te verkrijgen, hetgeen hij in Boek 6 doet. De volgende twee boeken handelen over de vaste sterren en in Boek 7 gebruikt Ptolemaeus zijn eigen waarnemingen samen met die van Hipparchus om zijn overtuiging te rechtvaardigen dat de vaste sterren altijd dezelfde posities ten opzichte van elkaar behouden. Hij schreef (zie bijvoorbeeld ):-

Als men de bovenstaande uitlijningen zou vergelijken met de diagrammen die de sterrenbeelden vormen op de hemelglobe van Hipparchus, dan zou men ontdekken dat de posities van de relevante sterren op de globe die het resultaat zijn van de waarnemingen ten tijde van Hipparchus, volgens wat hij vastlegde, vrijwel gelijk zijn aan de huidige.

In deze twee boeken bespreekt Ptolemaeus ook de precessie, waarvan hij de ontdekking toeschrijft aan Hipparchus, maar zijn cijfer is enigszins foutief, vooral vanwege de fout in de lengte van het tropische jaar dat hij gebruikte. Een groot deel van Boek 7 en 8 wordt in beslag genomen door Ptolemaeus’ sterrencatalogus, die meer dan duizend sterren bevat.
De laatste vijf boeken van de Almagest bespreken de planetenleer. Dit moet Ptolemeus’ grootste prestatie zijn in termen van een originele bijdrage, aangezien er vóór de Almagest geen bevredigend theoretisch model schijnt te zijn geweest om de tamelijk ingewikkelde bewegingen van de vijf planeten te verklaren. Ptolemaeus combineerde de epicyclus en de excentrische methode om zijn model voor de bewegingen van de planeten te geven. De baan van een planeet PPP bestond dus uit een cirkelbeweging op een epicyclus, waarbij het middelpunt CCC van de epicyclus rond een cirkel bewoog waarvan het middelpunt van de aarde was afgeweken. Ptolemaeus’ slimme innovatie hier was om de beweging van CCC niet gelijkmatig te maken rond het middelpunt van de cirkel waar het omheen beweegt, maar rond een punt dat equant wordt genoemd en dat symmetrisch is geplaatst aan de andere kant van het middelpunt dan de aarde.

De planetentheorie die Ptolemaeus hier ontwikkelde is een meesterwerk. Hij creëerde een verfijnd wiskundig model om waarnemingsgegevens in te passen die vóór Ptolemeus’ tijd schaars waren, en het model dat hij produceerde, hoewel ingewikkeld, geeft de bewegingen van de planeten redelijk goed weer.
Toomer vat de Almagest als volgt samen:-

Als didactisch werk is de “Almagest” een meesterwerk van helderheid en methode, superieur aan elk oud wetenschappelijk leerboek en met weinig gelijken uit welke periode dan ook. Maar het is veel meer dan dat. Het is niet slechts een “systematisering” van de vroegere Griekse astronomie, zoals het soms wordt beschreven, maar in veel opzichten een origineel werk.

We zullen terugkomen op enkele van de beschuldigingen aan het adres van Ptolemaeus nadat we kort commentaar hebben gegeven op zijn andere werken. Hij publiceerde de tabellen die verspreid staan in de Almagest afzonderlijk onder de titel Handige Tafelen. Deze werden echter niet zomaar uit de Almagest overgenomen, maar Ptolemaeus bracht talrijke verbeteringen aan in de presentatie en het gebruiksgemak ervan en hij bracht zelfs verbeteringen aan in de basisparameters om een grotere nauwkeurigheid te bereiken. We kennen alleen details van de Handige Tafelen door het commentaar van Theon van Alexandrië, maar in de auteur blijkt dat voorzichtigheid geboden is omdat Theon niet volledig op de hoogte was van de procedures van Ptolemaeus.
Ptolemaeus deed ook wat veel schrijvers van diep-wetenschappelijke werken hebben gedaan, en nog steeds doen, door een populair verslag van zijn resultaten te schrijven onder de titel Planetaire Hypothese. Dit werk, dat uit twee boeken bestaat, volgt weer de bekende weg van het verminderen van de wiskundige vaardigheden die een lezer nodig heeft. Ptolemaeus doet dit nogal slim door de abstracte meetkundige theorieën te vervangen door mechanische. Ptolemaeus schreef ook een werk over astrologie. Voor de moderne lezer kan het vreemd lijken dat iemand die zulke uitstekende wetenschappelijke boeken heeft geschreven, ook over astrologie schrijft. Ptolemaeus ziet dat echter anders, want hij beweert dat men met de Almagest de posities van de hemellichamen kan vinden, terwijl hij zijn astrologieboek beschouwt als een begeleidend werk waarin de effecten van de hemellichamen op het leven van de mensen worden beschreven.
In een boek getiteld Analemma besprak hij methoden om de hoeken te vinden die nodig zijn om een zonnewijzer te construeren, wat de projectie van punten op de hemelbol inhoudt. In Planisphaerium houdt hij zich bezig met de stereografische projectie van de hemelbol op een vlak. Dit wordt besproken in waar staat:-

In de stereografische projectie die Ptolemaeus in het “Planisphaerium” behandelt, wordt de hemelbol in kaart gebracht op het vlak van de evenaar door projectie vanaf de zuidpool. Ptolemaeus bewijst niet de belangrijke eigenschap dat cirkels op de bol ook cirkels op het vlak worden.

Ptolemaeus’ grote werk Geografie, in acht boeken, probeert de bekende wereld in kaart te brengen met coördinaten van de belangrijkste plaatsen in termen van lengte- en breedtegraden. Het is niet verwonderlijk dat de kaarten van Ptolemaeus op veel plaatsen nogal onnauwkeurig waren, want van hem kon niet meer worden verwacht dan dat hij de beschikbare gegevens gebruikte en deze waren van zeer slechte kwaliteit voor alles buiten het Romeinse Rijk, en zelfs delen van het Romeinse Rijk zijn ernstig vervormd. In Ptolemaeus wordt beschreven als:-

… een man die werkte zonder de steun van een ontwikkelde theorie maar binnen een wiskundige traditie en geleid door zijn gevoel voor wat passend is voor het probleem.

Een ander werk over Optica bestaat uit vijf boeken en daarin bestudeert Ptolemaeus kleur, weerkaatsing, breking, en spiegels van verschillende vorm. Toomer becommentarieert in :-

Het vaststellen van de theorie door experimenten, vaak door het bouwen van speciale apparaten, is het meest opvallende kenmerk van Ptolemeus’ “Optica”. Of het onderwerp nu grotendeels afgeleid of origineel is, “De Optica” is een indrukwekkend voorbeeld van de ontwikkeling van een wiskundige wetenschap met inachtneming van natuurkundige gegevens, en is de auteur van de “Almagest” waardig.

Een Engelse vertaling, in een poging de onnauwkeurigheden te verwijderen die zijn geïntroduceerd in de slechte Arabische vertaling die onze enige bron van de Optica is, wordt gegeven in .
De eerste die beschuldigingen tegen Ptolemaeus uitte was Tycho Brahe. Hij ontdekte dat er een systematische fout van één graad zat in de lengtegraden van de sterren in de sterrencatalogus, en hij beweerde dat, ondanks dat Ptolemaeus zei dat het zijn eigen waarnemingen waren, het slechts een omzetting was van een catalogus van Hipparchus gecorrigeerd voor precessie naar Ptolemaeus’ datum. Er zijn natuurlijk duidelijke problemen bij het vergelijken van twee sterrencatalogi, waarvan we er één hebben en de andere verloren is gegaan.
Na de commentaren van Laplace en Lalande was Delambre de volgende die Ptolemaeus krachtig aanviel. Hij suggereerde dat de fouten misschien van Hipparchus afkomstig waren en dat Ptolemaeus misschien niets ernstigers had gedaan dan het niet corrigeren van Hipparchus’ gegevens voor de tijd tussen de equinoxen en de zonnewendes. Delambre zegt echter vervolgens (zie ):-

Men zou alles op een minder gunstige maar des te eenvoudiger manier kunnen verklaren door Ptolemaeus de waarneming van de sterren en de equinoxen te ontzeggen, en door te beweren dat hij alles van Hipparchus heeft overgenomen, met gebruikmaking van de minimale waarde van laatstgenoemde voor de precessiebeweging.

Hoewel Ptolemaeus niet zonder zijn medestanders was en verdere analyse leidde tot de overtuiging dat de beschuldigingen die Delambre tegen Ptolemaeus uitte vals waren. Boll schrijft in 1894 :-

Hoe het er ook uitziet, moet men Ptolemaeus nageven dat hij een wezenlijk rijker beeld van het Griekse firmament heeft gegeven dan zijn eminente voorgangers.

Vogt heeft in zijn belangrijke artikel duidelijk laten zien dat door Hipparchus’ Commentaar op Aratus en Eudoxus te beschouwen en de redelijke veronderstelling te maken dat de daar gegeven gegevens overeenkomen met Hipparchus’ sterrencatalogus, de sterrencatalogus van Ptolemaeus niet kan zijn samengesteld uit de posities van de sterren zoals die door Hipparchus zijn gegeven, behalve voor een klein aantal sterren waar Ptolemaeus de gegevens wel van Hipparchus lijkt te hebben overgenomen. Vogt schrijft:-

Dit stelt ons in staat de vaste sterrencatalogus te beschouwen als van zijn eigen makelij, precies zoals Ptolemaeus zelf krachtig beweert.

De meest recente beschuldigingen van vervalsing aan het adres van Ptolemaeus kwamen van Newton in . Hij begint dit boek met een duidelijke uiteenzetting van zijn standpunten:-

Dit is het verhaal van een wetenschappelijke misdaad. … Ik bedoel een misdaad begaan door een wetenschapper tegen collega wetenschappers en geleerden, een verraad aan de ethiek en integriteit van zijn beroep dat de mensheid voor altijd heeft beroofd van fundamentele informatie over een belangrijk gebied van de astronomie en de geschiedenis.

Tegen het einde schrijft Newton, nadat hij beweerd had te bewijzen dat elke waarneming die Ptolemaeus in de Almagest beweerde, verzonnen was :-

ontwikkelde bepaalde astronomische theorieën en ontdekte dat deze niet strookten met de waarnemingen. In plaats van de theorieën te laten varen, verzon hij opzettelijk waarnemingen uit de theorieën, zodat hij kon beweren dat de waarnemingen de geldigheid van zijn theorieën bewezen. In elke wetenschappelijke of geleerde omgeving die we kennen, wordt deze praktijk fraude genoemd, en het is een misdaad tegen de wetenschap en de geleerden.

Hoewel het bewijsmateriaal van Brahe, Delambre, Newton en anderen zeker aantoont dat de fouten van Ptolemaeus niet willekeurig zijn, is dit laatste citaat van, naar mijn mening, een misdaad tegen Ptolemaeus (om Newton’s eigen woorden te gebruiken). Het boek is geschreven om de geldigheid van deze beschuldigingen te bestuderen en het is een werk waarvan ik sterk geloof dat het de juiste interpretatie geeft. Grasshoff schrijft:-

… men moet aannemen dat een aanzienlijk deel van de Ptolemaeïsche sterrencatalogus is gebaseerd op die Hipparchische waarnemingen die Hipparchus reeds gebruikte voor het samenstellen van het tweede deel van zijn “Commentaar op Aratus”. Hoewel niet kan worden uitgesloten dat coördinaten die het resultaat zijn van echte Ptolemaeïsche waarnemingen in de catalogus zijn opgenomen, zouden zij niet meer dan de helft van de catalogus kunnen uitmaken.
… de assimilatie van Hipparchische waarnemingen kan niet langer worden besproken onder het aspect van plagiaat. Ptolemaeus, wiens bedoeling het was een alomvattende theorie van de hemelverschijnselen te ontwikkelen, had geen toegang tot de methoden van evaluatie van gegevens met behulp van rekenkundige middelen, waarmee moderne astronomen uit een reeks variërende meetresultaten die ene representatieve waarde kunnen afleiden, die nodig is om een hypothese te toetsen. Om methodologische redenen was Ptolemaeus dus gedwongen uit een reeks metingen die ene waarde te kiezen die het best overeenkwam met wat hij als de meest betrouwbare gegevens moest beschouwen. Toen een intuïtieve keuze uit de gegevens niet meer mogelijk was … moest Ptolemaeus die waarden als “waargenomen” beschouwen die door theoretische voorspellingen konden worden bevestigd.

Als laatste commentaar citeren we het epigram waarvan door veel geleerden wordt aangenomen dat het door Ptolemaeus zelf is geschreven, en het staat in Boek 1 van de Almagest, na de inhoudsopgave (zie bijvoorbeeld ):-

Wel weet ik dat ik sterfelijk ben, een schepsel van één dag.
Maar als mijn geest de kronkelpaden van de sterren volgt
Dan rusten mijn voeten niet meer op aarde, maar staande bij
Zeus zelf neem ik mijn buik vol van ambrosia, de goddelijke schotel.