Scalar (wiskunde)
Scalars van vectorruimtenEdit
Een vectorruimte wordt gedefinieerd als een verzameling vectoren, een verzameling scalars, en een scalaire vermenigvuldigingsoperatie die een scalar k en een vector v naar een andere vector kv brengt. Bijvoorbeeld, in een coördinatenruimte is de scalaire vermenigvuldiging k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
levert ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots,kv_{n})}
. In een (lineaire) functieruimte is kƒ de functie x ↦ k(ƒ(x)).
De scalaren kunnen uit elk veld komen, dus ook uit de rationale, algebraïsche, reële en complexe getallen, en ook uit eindige velden.
Scalaren als vectorcomponentenEdit
Volgens een fundamentele stelling van de lineaire algebra heeft elke vectorruimte een basis. Hieruit volgt dat elke vectorruimte over een scalair veld K isomorf is met een coördinaatvectorruimte waarin de coördinaten elementen zijn van K. Bijvoorbeeld, elke reele vectorruimte van dimensie n is isomorf met de n-dimensionale reele ruimte Rn.
Scalaren in genormeerde vectorruimtenEdit
Als alternatief kan een vectorruimte V worden uitgerust met een normfunctie die aan elke vector v in V een scalar ||v|| toekent. Per definitie vermenigvuldigt vermenigvuldiging van v met een scalair k ook zijn norm met |k|. Als ||v|| wordt geïnterpreteerd als de lengte van v, kan deze operatie worden beschreven als het schalen van de lengte van v met k. Een vectorruimte voorzien van een norm heet een genormeerde vectorruimte (of genormeerde lineaire ruimte).
De norm wordt gewoonlijk gedefinieerd als een element van het scalaire veld K van V, waardoor dit laatste wordt beperkt tot velden die het begrip teken ondersteunen. Bovendien, als V dimensie 2 of meer heeft, moet K gesloten zijn onder vierkantswortel, evenals de vier rekenkundige bewerkingen; dus de rationale getallen Q zijn uitgesloten, maar het surd veld is aanvaardbaar. Daarom is niet elke scalair-productruimte een genormeerde vectorruimte.
Scalaren in modulesEdit
Wanneer de eis dat de verzameling van scalaren een veld vormt, versoepeld wordt zodat ze alleen een ring hoeft te vormen (zodat bijvoorbeeld de deling van scalaren niet gedefinieerd hoeft te zijn, of de scalaren niet commutatief hoeven te zijn), wordt de resulterende algemenere algebraïsche structuur een module genoemd.
In dit geval kunnen de “scalaren” ingewikkelde objecten zijn. Als R bijvoorbeeld een ring is, kunnen de vectoren van de productruimte Rn tot een module worden gemaakt met de n×n matrices met ingangen uit R als de scalaren. Een ander voorbeeld komt uit de manifoldtheorie, waar de ruimte van doorsneden van de raaklijnenbundel een module vormt over de algebra van reële functies op de manifold.
VerschalingstransformatieEdit
De scalaire vermenigvuldiging van vectorruimten en modules is een speciaal geval van verschaling, een soort lineaire transformatie.
Scalaire operaties (informatica)
operaties die op een enkele waarde tegelijk van toepassing zijn.
- Scalaire processor vs. vectorprocessor of superscalaire processor
- Variabele (informatica) soms ook aangeduid als een “scalar”