Den långa vägen till Maxwells ekvationer

Om du vill hylla den store fysikern James Clerk Maxwell, saknas det inte platser att göra det på. Det finns en minnesmarkör i Westminster Abbey i London, inte långt från Isaac Newtons grav. En magnifik staty har nyligen installerats i Edinburgh, nära hans födelseort. Du kan också visa din respekt vid hans sista viloplats nära Castle Douglas i sydvästra Skottland, en bit från hans älskade släktgård. Det är passande monument för den person som utvecklade den första enhetliga teorin inom fysiken, som visade att elektricitet och magnetism är intimt sammankopplade.

Men vad dessa landmärken inte återspeglar är det faktum att vid Maxwells död 1879 var hans elektromagnetiska teori – som ligger till grund för så mycket av vår moderna tekniska värld – ännu inte på fast mark.

En extraordinär mängd information om världen – de grundläggande reglerna för hur ljus beter sig, strömmar flyter och magnetism fungerar – kan kokas ner till fyra eleganta ekvationer. I dag kallas dessa ekvationer för Maxwells ekvationer, och de återfinns i så gott som alla introduktionsböcker i teknik och fysik.

Det kan hävdas att dessa ekvationer fick sin början för 150 år sedan denna månad, när Maxwell presenterade sin teori som förenar elektricitet och magnetism inför Royal Society i London och publicerade en fullständig rapport året därpå, år 1865. Det var detta arbete som lade grunden för alla de stora prestationer inom fysik, telekommunikation och elektroteknik som skulle komma att följa.

Men det fanns en lång lucka mellan presentationen och utnyttjandet. De matematiska och konceptuella grunderna för Maxwells teori var så komplicerade och kontraintuitiva att hans teori till stor del negligerades efter att den först presenterades.

Det tog nästan 25 år innan en liten grupp fysiker, som själva var besatta av elektricitetens och magnetismens mysterier, ställde Maxwells teori på en solid grund. Det var de som samlade in de experimentella bevis som behövdes för att bekräfta att ljuset består av elektromagnetiska vågor. Och det var de som gav hans ekvationer deras nuvarande form. Utan de herkuliska ansträngningarna från denna grupp ”Maxwellianer”, som historikern Bruce J. Hunt från University of Texas i Austin kallar dem, hade det kanske tagit ytterligare årtionden innan vår moderna uppfattning om elektricitet och magnetism hade fått ett brett genomslag. Och det skulle ha försenat all den otroliga vetenskap och teknik som skulle följa.

I dag lär vi oss tidigt att synligt ljus bara är en del av det breda elektromagnetiska spektrumet, vars strålning består av oscillerande elektriska och magnetiska fält. Och vi lär oss att elektricitet och magnetism är oupplösligt sammankopplade; ett föränderligt magnetfält skapar ett elektriskt fält, och ström och föränderliga elektriska fält ger upphov till magnetfält.

Vi har Maxwell att tacka för dessa grundläggande insikter. Men de kom inte till honom plötsligt och från ingenstans. De bevis som han behövde kom bit för bit, under loppet av mer än 50 år.

Du kan starta klockan år 1800, när fysikern Alessandro Volta rapporterade om uppfinningen av ett batteri, vilket gjorde det möjligt för experimenterare att börja arbeta med kontinuerlig likström. Cirka 20 år senare fick Hans Christian Ørsted det första beviset på en koppling mellan elektricitet och magnetism genom att visa att nålen på en kompass rörde sig när den fördes nära en strömförande tråd. Kort därefter visade André-Marie Ampère att två parallella strömförande trådar kunde fås att visa en ömsesidig attraktion eller repulsion beroende på strömmarnas relativa riktning. Och i början av 1830-talet hade Michael Faraday visat att på samma sätt som elektricitet kan påverka en magnets beteende, kan en magnet påverka elektricitet, när han visade att en magnet som dras genom en trådslinga kan generera ström.

Dessa observationer var fragmentariska bevis på ett beteende som ingen riktigt förstod på ett systematiskt eller heltäckande sätt. Vad var elektrisk ström egentligen? Hur kunde en strömförande tråd sträcka sig ut och vrida en magnet? Och hur skapade en rörlig magnet ström?

Ett viktigt frö planterades av Faraday, som föreställde sig ett mystiskt, osynligt ”elektrotoniskt tillstånd” som omgav magneten – det som vi i dag skulle kalla ett fält. Han menade att det är förändringar i detta elektrotoniska tillstånd som orsakar elektromagnetiska fenomen. Faraday antog att ljuset i sig självt var en elektromagnetisk våg. Men att forma dessa idéer till en fullständig teori var bortom hans matematiska förmåga. Detta var läget när Maxwell kom in på scenen.

På 1850-talet, efter att ha tagit examen från universitetet i Cambridge i England, började Maxwell försöka göra Faradays observationer och teorier matematiskt begripliga. I sitt första försök, en uppsats från 1855 med titeln ”On Faraday’s Lines of Force”, utformade Maxwell en modell genom analogi och visade att ekvationer som beskriver inkompressibel vätskeströmning också kunde användas för att lösa problem med oföränderliga elektriska eller magnetiska fält.

Hans arbete avbröts av ett myller av distraktioner. Han tog ett jobb 1856 vid Marischal College i Aberdeen i Skottland, ägnade flera år åt en matematisk studie av stabiliteten hos Saturnus ringar, blev avskedad i samband med en collegefusion 1860, fick smittkoppor och dog nästan innan han äntligen fick ett nytt jobb, som professor vid King’s College i London.

På något sätt hittade Maxwell i allt detta tid att konkretisera Faradays fältteori. Även om det ännu inte var en fullständig teori om elektromagnetism, visade sig en uppsats som han publicerade i flera delar 1861 och 1862 vara en viktig språngbräda.

Med utgångspunkt i tidigare idéer föreställde sig Maxwell ett slags molekylärt medium där magnetfält är matriser av snurrande virvlar. Var och en av dessa virvlar är omgiven av små partiklar av någon form som hjälper till att föra spinnet från en virvel till en annan. Även om han senare lade den åt sidan fann Maxwell att denna mekaniska vision hjälpte till att beskriva en rad elektromagnetiska fenomen. Kanske mest avgörande var att den lade grunden för ett nytt fysiskt begrepp: förskjutningsströmmen.

Förskjutningsström är egentligen inte ström. Det är ett sätt att beskriva hur förändringen i det elektriska fältet som passerar genom ett visst område kan ge upphov till ett magnetfält, precis som en ström gör. I Maxwells modell uppstår förskjutningsströmmen när en förändring i det elektriska fältet orsakar en momentan förändring av partiklarnas position i virvelmediet. Partiklarnas rörelse genererar en ström.

En av de mest dramatiska manifestationerna av förskjutningsström är i kondensatorn, där i vissa kretsar den energi som lagras mellan två plattor i en kondensator pendlar mellan höga och låga värden. I det här systemet är det ganska lätt att visualisera hur Maxwells mekaniska modell skulle fungera. Om kondensatorn innehåller ett isolerande, dielektriskt material kan man tänka sig att förskjutningsströmmen uppstår genom rörelsen av elektroner som är bundna till atomernas kärnor. Dessa svänger fram och tillbaka från den ena sidan till den andra, som om de vore fästa vid utsträckta gummiband. Men Maxwells förskjutningsström är mer grundläggande än så. Den kan uppstå i vilket medium som helst, även i rymdens vakuum, där det inte finns några elektroner tillgängliga för att skapa en ström. Och precis som en riktig ström ger den upphov till ett magnetfält.

Med tillägget av detta begrepp hade Maxwell de grundläggande element han behövde för att koppla mätbara kretsegenskaper till två, numera out-of-use, konstanter som uttrycker hur lätt elektriska och magnetiska fält bildas som svar på en spänning eller en ström. (Numera formulerar vi dessa grundläggande konstanter på ett annat sätt, som det fria rummets permittivitet och permeabilitet.)

På samma sätt som en fjäderkonstant bestämmer hur snabbt en fjäder studsar tillbaka efter att ha blivit utsträckt eller sammanpressad, kan dessa konstanter kombineras för att bestämma hur snabbt en elektromagnetisk våg färdas i det fria rummet. Efter att andra hade bestämt deras värden med hjälp av experiment på kondensatorer och induktorer kunde Maxwell uppskatta hastigheten för en elektromagnetisk våg i vakuum. När han jämförde värdet med befintliga uppskattningar av ljusets hastighet drog han slutsatsen av deras nära nog lika värde att ljuset måste vara en elektromagnetisk våg.

Maxwell färdigställde de sista viktiga delarna av sin elektromagnetiska teori 1864, när han var 33 år gammal (även om han gjorde vissa förenklingar i senare arbeten). I sitt föredrag från 1864 och den efterföljande uppsatsen lämnade han den mekaniska modellen bakom sig men behöll begreppet förskjutningsström. Genom att fokusera på matematiken beskrev han hur elektricitet och magnetism hänger ihop och hur de, när de väl har genererats på rätt sätt, rör sig tillsammans för att skapa en elektromagnetisk våg.

Detta arbete är grunden för vår moderna förståelse av elektromagnetism, och det ger fysiker och ingenjörer alla de verktyg de behöver för att beräkna sambanden mellan laddningar, elektriska fält, strömmar och magnetfält.

Men det som borde ha varit en kupp möttes i själva verket av en extrem skepsis, till och med från Maxwells närmaste kolleger. En av de mest högljudda skeptikerna var Sir William Thomson (senare Lord Kelvin). Thomson, som var en ledare för det brittiska forskarsamhället på den tiden, trodde helt enkelt inte att något sådant som förskjutningsström kunde existera.

Hans invändning var naturlig. Det var en sak att tänka sig en förskjutningsström i ett dielektrikum fyllt av atomer. Det var en helt annan sak att föreställa sig att den skulle bildas i ett vakuum. Utan en mekanisk modell för att beskriva denna miljö och utan faktiska rörliga elektriska laddningar var det oklart vad förskjutningsström var eller hur den kunde uppstå. Denna avsaknad av en fysisk mekanism var osmaklig för många fysiker under den viktorianska eran. I dag är vi naturligtvis villiga att acceptera fysiska teorier, såsom kvantmekanik, som trotsar vår vardagliga fysiska intuition, så länge de är matematiskt rigorösa och har stor förutsägelseförmåga.

Maxwells samtida uppfattade andra stora brister i hans teori. Maxwell postulerade till exempel att oscillerande elektriska och magnetiska fält tillsammans bildar vågor, men han beskrev inte hur de rör sig i rummet. Alla vågor som var kända vid denna tid krävde ett medium för att färdas i. Ljudvågor färdas i luft och vatten. Så om elektromagnetiska vågor existerade, resonerade dåtidens fysiker, måste det finnas ett medium för att transportera dem, även om detta medium inte kunde ses, smakas eller beröras.

Också Maxwell trodde på ett sådant medium, eller eter. Han trodde att det fyllde hela rymden och att elektromagnetiska beteenden var resultatet av spänningar, spänningar och rörelser i denna eter. Men 1865, och i sin senare tvåvolymiga Treatise on Electricity and Magnetism, presenterade Maxwell sina ekvationer utan någon mekanisk modell för att motivera hur eller varför dessa mystiska elektromagnetiska vågor möjligen skulle kunna fortplanta sig. För många av hans samtidiga fick bristen på en modell Maxwells teori att framstå som oerhört ofullständig.

Kanske är det mest avgörande att Maxwells egen beskrivning av sin teori var förbluffande komplicerad. Högskolestudenter kanske hälsar de fyra Maxwells ekvationer med skräck, men Maxwells formulering var betydligt mer rörig. För att skriva ekvationerna på ett ekonomiskt sätt behöver vi matematik som inte var helt mogen när Maxwell utförde sitt arbete. Mer specifikt behöver vi vektorkalkyl, ett sätt att kompakt kodifiera differentialekvationer för vektorer i tre dimensioner.

Maxwells teori kan idag sammanfattas med fyra ekvationer. Men hans formulering tog formen av 20 samtidiga ekvationer, med 20 variabler. De dimensionella komponenterna i hans ekvationer (x-, y- och z-riktningarna) var tvungna att stavas separat. Och han använde några kontraintuitiva variabler. I dag är vi vana vid att tänka på och arbeta med elektriska och magnetiska fält. Men Maxwell arbetade i första hand med en annan typ av fält, en kvantitet som han kallade elektromagnetiskt momentum, utifrån vilket han sedan skulle beräkna de elektriska och magnetiska fält som Faraday först hade tänkt sig. Maxwell kan ha valt det namnet för fältet – som i dag är känt som magnetisk vektorpotential – eftersom dess derivat med avseende på tid ger en elektrisk kraft. Men potentialen gör oss ingen tjänst när det gäller att beräkna många enkla elektromagnetiska beteenden vid gränser, t.ex. hur elektromagnetiska vågor reflekteras av en ledande yta.

Nettoresultatet av all denna komplexitet är att när Maxwells teori debuterade var det nästan ingen som uppmärksammade den.

Men några få personer gjorde det. Och en av dem var Oliver Heaviside. Heaviside, som en gång beskrevs av en vän som en ”förstklassig udda person”, som växte upp i extrem fattigdom och var delvis döv, gick aldrig på universitet. I stället lärde han sig själv avancerad vetenskap och matematik.

Heaviside var i 20-årsåldern och arbetade som telegrafist i Newcastle, i nordöstra England, när han fick tag på Maxwells Treatise från 1873. ”Jag såg att den var stor, större och störst”, skrev han senare. ”Jag var fast besluten att behärska boken och satte mig i arbete”. Året därpå lämnade han sitt arbete och flyttade in hos sina föräldrar för att lära sig Maxwell.

Det var Heaviside, som arbetade i stort sett i avskildhet, som satte Maxwells ekvationer i sin nuvarande form. Sommaren 1884 undersökte Heaviside hur energi rörde sig från plats till plats i en elektrisk krets. Han undrade om energin transporteras av strömmen i en tråd eller av det elektromagnetiska fältet som omger den?

Heaviside återgav till slut ett resultat som redan hade publicerats av en annan brittisk fysiker, John Henry Poynting. Men han fortsatte att driva vidare, och under arbetet med den komplicerade vektorkalkylen råkade han ut för ett sätt att omformulera Maxwells poängsättning av ekvationer till de fyra ekvationer som vi använder idag.

Nyckeln var att eliminera Maxwells märkliga magnetiska vektorpotential. ”Jag gjorde aldrig några framsteg förrän jag kastade alla potentialer överbord”, sade Heaviside senare. Den nya formuleringen placerade i stället de elektriska och magnetiska fälten i centrum.

En av konsekvenserna av arbetet var att det avslöjade den vackra symmetrin i Maxwells ekvationer. En av de fyra ekvationerna beskriver hur ett förändrat magnetfält skapar ett elektriskt fält (Faradays upptäckt), och en annan beskriver hur ett förändrat elektriskt fält skapar ett magnetfält (den berömda förskjutningsströmmen, som Maxwell lade till).

Denna formulering avslöjade också ett mysterium. Elektriska laddningar, såsom elektroner och joner, har linjer av elektriskt fält runt omkring sig som strålar från laddningen. Men det finns ingen källa till magnetiska fältlinjer: I vårt kända universum är magnetiska fältlinjer alltid kontinuerliga slingor, utan start eller slut.

Denna asymmetri oroade Heaviside, så han lade till en term som representerar en magnetisk ”laddning” och antog att den ännu inte hade upptäckts. Och det har den faktiskt fortfarande inte. Fysiker har sedan dess genomfört omfattande sökningar efter sådana magnetiska laddningar, även kallade magnetiska monopoler. Men de har aldrig hittats.

Fortsättningsvis är magnetisk ström ett användbart knep för att lösa elektromagnetiska problem med vissa typer av geometrier, t.ex. beteendet hos strålning som rör sig genom en spalt i en ledande plåt.

Om Heaviside har modifierat Maxwells ekvationer i den här utsträckningen, varför kallar vi dem då inte för Heavisides ekvationer? Heaviside svarade själv på denna fråga 1893 i förordet till den första volymen av hans publikation i tre volymer, Electromagnetic Theory. Han skrev att om vi har goda skäl ”att tro att han skulle ha erkänt nödvändigheten av förändring när han påpekades för honom, så tror jag att den resulterande modifierade teorin mycket väl kan kallas Maxwells.”

Matematisk elegans var en sak. Men att hitta experimentella bevis för Maxwells teori var något annat. När Maxwell avled 1879, vid 48 års ålder, ansågs hans teori fortfarande vara ofullständig. Det fanns inga empiriska bevis för att ljus består av elektromagnetiska vågor, bortsett från det faktum att det synliga ljusets hastighet och den elektromagnetiska strålningens hastighet verkade stämma överens. Dessutom tog Maxwell inte specifikt upp många av de egenskaper som elektromagnetisk strålning borde ha om den utgör ljus, nämligen beteenden som reflektion och brytning.

Fysikerna George Francis FitzGerald och Oliver Lodge arbetade för att stärka kopplingen till ljus. Paret, som var anhängare av Maxwells Treatise från 1873, träffades året före Maxwells död vid ett möte med British Association for the Advancement of Science i Dublin, och de började samarbeta, till stor del genom brevväxling. Deras korrespondens med varandra och med Heaviside bidrog till att främja den teoretiska förståelsen av Maxwells teori.

Som historikern Hunt beskriver i sin bok The Maxwellians hoppades Lodge och FitzGerald också på att hitta experimentella bevis för att stödja idén att ljus är en elektromagnetisk våg. Men här hade de inte mycket framgång. I slutet av 1870-talet utvecklade Lodge några kretsar som han hoppades skulle kunna omvandla elektricitet med lägre frekvens till ljus med högre frekvens, men försöket rann ut i sanden när Lodge och FitzGerald insåg att deras system skulle skapa strålning med för låg frekvens för att kunna upptäckas med ögat.

Knappt ett decennium senare utförde Lodge experiment om åskskydd när han märkte att urladdning av kondensatorer längs ledningar gav upphov till ljusbågar. Nyfiken förändrade han ledningslängderna och upptäckte att han kunde åstadkomma spektakulära gnistor. Han drog korrekt slutsatsen att detta var effekten av en elektromagnetisk våg i resonans. Han upptäckte att med tillräcklig kraft kunde han faktiskt se hur luften joniserades runt ledningarna, en dramatisk illustration av en stående våg.

Nu var Lodge övertygad om att han genererade och upptäckte elektromagnetiska vågor och planerade att rapportera sina häpnadsväckande resultat vid ett möte i British Association, strax efter att han återvänt från en semester i Alperna. Men när han läste en tidning på tåget från Liverpool upptäckte han att han hade blivit lurad. I julinumret 1888 av Annalen der Physik hittade han en artikel med titeln ”Über elektrodynamische Wellen im Luftraum und deren Reflexion” (”Om elektrodynamiska vågor i luften och deras reflektion”) skriven av en föga känd tysk forskare, Heinrich Hertz.

Hertz’ experimentella arbete i ämnet inleddes vid Technische Hochschule (numera Karlsruhe Institute of Technology) i Karlsruhe, Tyskland, 1886. Han märkte att något märkligt hände när han urladdade en kondensator genom en trådslinga. En identisk slinga på kort avstånd utvecklade ljusbågar över sina oanslutna terminaler. Hertz insåg att gnistorna i den oanslutna slingan orsakades av mottagning av elektromagnetiska vågor som hade genererats av slingan med den urladdande kondensatorn.

Inspirerad använde Hertz gnistorna i sådana slingor för att upptäcka osynliga radiofrekventa vågor. Han fortsatte med att utföra experiment för att verifiera att elektromagnetiska vågor uppvisar ljusliknande beteenden som reflektion, brytning, diffraktion och polarisering. Han utförde en mängd experiment både i det fria rummet och längs ledningar. Han formade ett meterlångt prisma av asfalt som var genomskinligt för radiovågor och använde det för att observera relativt storskaliga exempel på reflektion och refraktion. Han skickade radiovågor mot ett rutnät av parallella trådar och visade att de reflekterade eller passerade genom rutnätet beroende på rutnätets orientering. Detta visade att elektromagnetiska vågor var tvärgående: De oscillerar, precis som ljuset gör, i en riktning som är vinkelrät mot deras utbredningsriktning. Hertz reflekterade också radiovågor från en stor zinkplatta och mätte avståndet mellan de upphävda nollpunkterna i de resulterande stående vågorna för att bestämma deras våglängder.

Med dessa uppgifter – tillsammans med strålningens frekvens, som han beräknade genom att mäta kapacitansen och induktansen hos sin kretsliknande sändarantenn – kunde Hertz beräkna hastigheten hos sina osynliga vågor, som låg ganska nära den som är känd för synligt ljus.

Maxwell hade postulerat att ljuset var en elektromagnetisk våg. Hertz visade att det sannolikt fanns ett helt universum av osynliga elektromagnetiska vågor som beter sig precis som synligt ljus och som rör sig genom rymden med samma hastighet. Detta avslöjande var tillräckligt för att många skulle acceptera att ljuset i sig självt är en elektromagnetisk våg.

Lodges besvikelse över att ha blivit lurad kompenserades mer än väl av skönheten och fullständigheten i Hertz’ arbete. Lodge och FitzGerald arbetade för att popularisera Hertz’ resultat och presenterade dem för British Association. Nästan omedelbart fortsatte Hertz arbete att ligga till grund för utvecklingen av trådlös telegrafi. I de tidigaste versionerna av tekniken användes sändare som liknade de bredbandiga anordningar med gnistspalt som Hertz använde.

Tidigare accepterade vetenskapsmännen att vågor kunde färdas genom ingenting överhuvudtaget. Och begreppet fält, som till en början var osmakligt eftersom det saknade mekaniska delar för att få det att fungera, blev centralt för en stor del av den moderna fysiken.

Det fanns mycket mer att komma med. Men redan före 1800-talets slut var Maxwells arv säkrat tack vare några få hängivna entusiasters ihärdiga ansträngningar.

Om författaren

James C. Rautio är grundare av Sonnet Software.