Förhållanden och proportioner och hur man löser dem

Vi pratar om förhållanden och proportioner. När vi talar om hastigheten på en bil eller ett flygplan mäter vi den i miles per timme. Detta kallas för en hastighet och är en typ av förhållande. Ett förhållande är ett sätt att jämföra två storheter genom att använda division som i miles per timme där vi jämför miles och timmar.

Ett förhållande kan skrivas på tre olika sätt och alla läses som ”förhållandet mellan x och y”

$$$x\: to\: y$

$$$x:y$

$$$\frac{x}{y}$$$

En proportion å andra sidan är en ekvation som säger att två förhållanden är likvärdiga. Om till exempel en förpackning kakmix ger 20 kakor är det samma sak som att säga att två förpackningar ger 40 kakor.

$$$\frac{20}{1}=\frac{40}{2}$$$

En proportion kan läsas som ”x är till y lika mycket som z är till w”

$$$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{x}{100}={\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{2}{20}$$$

$$$x=\frac{200}{20}$$$

$$x$=10$$

Om det okända talet finns i nämnaren kan vi använda en annan metod som involverar korsprodukten. Korsprodukten är produkten av täljaren i ett av förhållandena och nämnaren i det andra förhållandet. Korsprodukterna av en proportion är alltid lika

Om vi återigen använder exemplet med kakmixen som användes ovan

$$$\frac{{{\color{green} {20}}}}{{\color{blue} {1}}}}=\frac{{\color{blue}} {40}}}}{{\color{green} {2}}}}$$$

$$$${color{blue} {1}}}\cdot {\color{blue} {40}}={\color{green} {2}}}\cdot {\color{green} {20}}=40$$$

Det sägs att det är i en proportion om

$$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: där\: y,w\neq 0$$$

$$$xw=yz$$$

Om du tittar på en karta säger den alltid i ett av hörnen att 1 tum på kartan motsvarar ett mycket större avstånd i verkligheten. Detta kallas för en skalning. Vi använder ofta skalning för att avbilda olika objekt. Skalning innebär att man återskapar en modell av objektet och delar dess proportioner, men där storleken skiljer sig åt. Man kan skala upp (förstora) eller skala ner (minska). Till exempel representerar skalan 1:4 en fjärdedel. Således skulle varje mått som vi ser i modellen vara 1/4 av det verkliga måttet. Om vi vill beräkna det omvända, där vi har en 20 fot hög mur och vill återge den i skalan 1:4, räknar vi helt enkelt ut:

$$$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$$

I en skalmodell i skala 1:X, där X är en konstant, blir alla mått 1/X – av det verkliga måttet. Samma matematik gäller när vi vill förstora. Avbildar vi något i skalan 2:1 blir alla mått då dubbelt så stora som i verkligheten. Vi dividerar med 2 när vi vill hitta det verkliga måttet.

Videolektion

Finn x

$$$\frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$$$