Fysik
Exempel 1. Beräkning av hastigheter efter en elastisk kollision
Beräkna hastigheterna för två föremål efter en elastisk kollision, givet att m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s och v2 = 0.
Strategi och begrepp
Först visualiserar du vad de initiala förhållandena innebär – ett litet föremål slår mot ett större föremål som inledningsvis är i vila. Denna situation är något enklare än den situation som visas i figur 1 där båda objekten initialt är i rörelse. Vi ombeds att hitta två okända (de slutliga hastigheterna v′1 och v′2). För att hitta två okända måste vi använda två oberoende ekvationer. Eftersom denna kollision är elastisk kan vi använda ovanstående två ekvationer. Båda kan förenklas genom det faktum att föremål 2 initialt är i vila, och därmed v2=0. När vi har förenklat dessa ekvationer kombinerar vi dem algebraiskt för att lösa de okända.
Lösning
För detta problem noterar vi att v2=0 och använder oss av rörelsemängdens bevarande. Således,
p1 = p′1 + p′2 eller m1v1=m1v′1+m2v′2.
Med hjälp av bevarandet av den inre rörelseenergin och att v2=0,
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}{2}m_2{v′_2}^2\\\\
Lösning av den första ekvationen (momentumekvationen) för v′2, får vi
v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)\\\.
Om detta uttryck sätts in i den andra ekvationen (ekvationen för intern kinetisk energi) elimineras variabeln v′2 och endast v′1 kvarstår som okänd (algebran lämnas som en övning för läsaren). Det finns två lösningar till varje kvadratisk ekvation; i detta exempel är de
v′1 = 4 . 00 m/s och v′1=-3.00 m/s.
Som noterades när kvadratiska ekvationer möttes i tidigare kapitel kan båda lösningarna vara meningsfulla eller inte. I det här fallet är den första lösningen densamma som det inledande villkoret. Den första lösningen representerar alltså situationen före kollisionen och kasseras. Den andra lösningen (v′1=-3,00 m/s) är negativ, vilket innebär att det första föremålet studsar bakåt. När detta negativa värde på v′1 används för att hitta det andra objektets hastighet efter kollisionen får vi
v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}}{3.50\text{ kg}}}\left\text{m/s}\\\
eller
v′2=1.00 m/s.
Diskussion
Resultatet i detta exempel är intuitivt rimligt. Ett litet föremål slår mot ett större föremål i vila och studsar bakåt. Det större objektet slås framåt, men med låg hastighet. (Detta är som en kompaktbil som studsar bakåt mot en fullstor SUV som till en början är i vila). Som en kontroll kan du försöka beräkna den inre rörelseenergin före och efter kollisionen. Du kommer att se att den inre kinetiska energin är oförändrad på 4,00 J. Kontrollera också det totala rörelsemängden före och efter kollisionen; du kommer att se att även den är oförändrad.
Ekvationerna för bevarande av rörelsemängd och inre kinetisk energi som de är skrivna ovan kan användas för att beskriva vilken endimensionell elastisk kollision som helst mellan två föremål. Dessa ekvationer kan vid behov utvidgas till att omfatta fler objekt.