Hur bra är ditt bowlingresultat?

.
.

”Allt kommer att gå bra om du använder ditt sinne för dina beslut, och bara tänker på dina beslut.” Sedan 2007 har jag ägnat mitt liv åt att dela glädjen med spelteori och matematik. MindYourDecisions har nu över 1 000 gratis artiklar utan annonser tack vare stöd från gemenskapen! Hjälp till och få tidig tillgång till inlägg med ett löfte på Patreon.

.
.

Jag brukar bowla en poäng runt 130, men häromdagen slog jag sex strikes och hamnade på 215.

Jag tog en stund för att frossa i den höga poängen, men sedan började jag tänka mer kritiskt. Jag var nyfiken på hur bra poängen var i statistisk mening.

Jag var tillsammans med några matteintresserade vänner och vår diskussion gav upphov till många frågor.

Hur många olika bowlingspel är möjliga? Vad är den genomsnittliga bowlingpoängen? På hur många sätt kan man uppnå varje bowlingpoäng (vad är fördelningen av bowlingpoäng)?

Jag gjorde lite efterforskningar och blev glad över att få veta att folk redan har gjort matematiken för att besvara dessa frågor. Här är en del av den intressanta matematiken.

Skrivning av ett bowlingspel i matematiska termer

Det första steget i problemet är att översätta ett bowlingspel till matematik. Tanken är att utveckla en kortfattad notation för att kompakt beskriva spelet. Jag kommer att följa den notation som utvecklats i denna artikel ”Is the Mean Bowling Score Awful.”

Tänk på den allra första ramen i ett spel. Vilka är de möjliga utfallen när du bowlar bollen?

En möjlighet är att du slår ner alla 10 pins med en strike och den första ramen är slut.

Den andra möjligheten är att du inte slår ner alla 10 pins. Då får du en andra chans att slå de återstående käglorna. Om du slår ner de återstående käglorna är det en spare.

Matematiskt kan vi modellera skålarna som en uppsättning av två nummer: antalet käglor som slås ner vid det första kastet och antalet vid det andra. Vi kan skriva detta som en ordnad mängd (första kastet, andra kastet) = (x , y).

Om du slår ner 3 käglor och sedan 4 är mängden (3, 4). Eller om du slår ner 3 och sedan 7 för att få ett reservkast, skrivs det (3,7)

I en strike slår du ner alla 10 käglor och du får inget andra kast. Vi kan skriva detta specialfall som (10, 0) med förståelsen att du faktiskt aldrig gjorde ett andra kast.

Med denna notation kan vi på ett kompakt sätt beskriva de möjliga utfallen i den första ramen. Utfallen kan skrivas som ett ordnat par av två tal, där båda talen är noll eller positiva, och de två talen summerar till högst 10 – eftersom det högsta du kan slå ner i en ram är 10 käglor.

I mängdnotation skrivs detta

De nio första ramarna i spelet fungerar på samma sätt.

Den tionde ramen i spelet är något annorlunda. Om du får en strike i det första kastet eller en spare i det andra kastet får du göra ett tredje bonuskast i den tionde ramen. Därför måste den tionde ramen representeras av tre tal, med särskilda relationer beroende på om en strike eller en spare görs.

Det finns fyra olika möjligheter:

-Två kast görs, färre än 10 slås ner (inget tredje kast)
-Det andra kastet gör en spare
-Det första kastet är en strike men det andra är inte det
-Två strike görs

Notationen blir mer komplicerad, men det är i huvudsak så som du skulle skriva ut dessa fyra möjligheter i mängdnotation. Here is the formal description:

Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.

In other words, a bowling game is a sequence:

And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.

We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.

How many bowling games are possible?

This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.

We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.

It remains to count the number of elements in each of these sets. Sedan multiplicerar vi antalet sätt för att få fram antalet totala spel.

Mängden A är antalet sätt som två positiva heltal summerar till 10 eller mindre. Detta är ett klassiskt kombinatoriskt problem.

Det finns ett smart sätt att räkna antalet lösningar. Jag hittade en härledning via Google Books för att hitta antalet sätt på vilka n icke-negativa heltal summerar till ett heltal r:

Länk till sidan 46 i Principles and techniques in combinatorics på Google Books

Formeln är C(r + n -1, r)

I vår bowlinguppsättning vill vi hitta hur två tal (n = 2) summerar till 10 eller mindre (r = 10, 9, 8, …, 0).

Vi vill beräkna formeln för varje värde på r och sedan summera dem alla. Detta är mindre arbete än det låter.

För r = 10 ser vi att formeln är C(11, 10) vilket är 11. För r = 9 blir formeln C(10, 9) vilket är 10. Mönstret fortsätter för lägre värden på r, så i slutändan vill vi summera 11 + 10 + 9 + … 1.

Detta beräknas lätt som 66. Det finns alltså 66 sätt för var och en av de nio första ramarna.

Vi vill nu veta antalet sätt för den tionde ramen.

Processen är densamma som tidigare. Jag ska bespara mig de blodiga detaljerna i det här fallet och bara säga att svaret är 241.

Nu kan vi beräkna det totala antalet bowlingspel genom att multiplicera siffrorna med varandra.

Det totala antalet bowlingspel är (66 x 66 x 66 … x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), vilket är ungefär 5.7 x 1018

Detta är inte alls i närheten av antalet möjliga schackpartier, men det är ändå ett riktigt stort antal.

För att sätta det i perspektiv skulle det ta hela världen (6,7 x 109), som spelar ett spel varje dag, över 2,3 miljoner år för att spela så många olika spel.

Vad är den genomsnittliga bowlingpoängen?

Den här delen blir matematiskt sett ännu mer komplicerad.

Tricket är att omvandla uppsättningarna till poäng, baserat på de speciella reglerna för spares (bonus på nästa kast) och strikes (bonus på de två följande kasten).

Därefter kan medelvärdet beräknas genom att summera alla möjliga poäng med antalet spel, vilket härleddes tidigare.

Medelvärdet av bowlingpoängen visar sig vara ungefär 80 (eller för att vara exakt, mer som 79.

Ta det som en bekräftelse på att även en blygsam poäng som 100 är över genomsnittet!

Den detaljerade framställningen förklaras i följande utdrag:

Länk till Mean bowling score at Google Books

Artikeln är daterad eftersom den avslutas med att lämna en öppen fråga om att bestämma den fullständiga fördelningen av bowlingpoäng. Detta har faktiskt gjorts.

Vad är fördelningen av bowlingpoäng?

Den sista och riktigt svåra frågan är att hitta bowlingfördelningen.

Det vill säga, för varje poäng n, vad är antalet sätt s(n) att uppnå den poängen.

Det finns vissa fall där svaret är uppenbart. Det finns bara 1 sätt att få en poäng på 0, eftersom det bara finns 1 sätt att få en poäng på 300, eller 299, eller 298, och så vidare fram till 291.

De andra fallen är mer komplicerade att räkna ut. Det finns 20 sätt att få 1 poäng och det finns 11 sätt att få 290 poäng.

För att räkna ut hela fördelningen krävs smarta beräkningar. Resultaten beskrivs på denna underbara webbsida som innehåller följande fina grafik:

Bildkälla: all about bowling scores

Märk att bowlingpoängen är kraftigt skeva! Poäng över 120 är mindre sannolika eftersom det kräver att spelaren får ett rimligt antal spares och strikes.

Ett annat sätt att tänka på detta är att även ett blygsamt resultat på 115 ligger i den 99:e percentilen.

Tänk på detta nästa gång du är ute och bowlar. Med tanke på det möjliga utbudet av bowlingresultat är ditt resultat förmodligen bättre än du tror!

(Percentilerna kommer att förändras om vi baserar fördelningen på faktiska bowlingdata. Tyvärr kunde jag inte hitta någon statistik om detta.)