Skalar (matematik)
Skalärer i vektorrumEdit
Ett vektorrum definieras som en uppsättning vektorer, en uppsättning skalärer och en skalär multiplikationsoperation som tar en skalär k och en vektor v till en annan vektor kv. I ett koordinatrum kan till exempel den skalära multiplikationen k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
ger ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
. I ett (linjärt) funktionsutrymme är kƒ funktionen x ↦ k(ƒ(x)).
Skalorerna kan tas från vilket fält som helst, inklusive de rationella, algebraiska, reella och komplexa talen samt ändliga fält.
Skalorerna som vektorkomponenterRedigera
Enligt en grundläggande sats i linjär algebra har varje vektorrum en bas. Av detta följer att varje vektorrum över ett skalarfält K är isomorf till ett koordinatvektorrum där koordinaterna är element i K. Till exempel är varje reellt vektorrum av dimension n isomorf till det n-dimensionella reella rummet Rn.
Skalarer i normerade vektorrumRedigera
Alternativt kan ett vektorrum V utrustas med en normfunktion som tillskriver varje vektor v i V en skalar ||v||. Genom att multiplicera v med en skalär k multipliceras per definition även dess norm med |k|. Om ||v|| tolkas som längden på v kan denna operation beskrivas som en skalning av längden på v med k. Ett vektorrum som är utrustat med en norm kallas ett normerat vektorrum (eller ett normerat linjärt rum).
Normen definieras vanligen som ett element i V:s skalarfält K, vilket begränsar det senare till fält som stöder begreppet tecken. Om V har dimension 2 eller mer måste K dessutom vara sluten under kvadratroten, liksom de fyra aritmetiska operationerna; således är de rationella talen Q uteslutna, men surd-fältet är acceptabelt. Av denna anledning är inte alla skalarproduktrum ett normerat vektorrum.
Skalarer i modulerRedigera
När kravet på att mängden skalarer bildar ett fält lättas upp så att den bara behöver bilda en ring (så att t.ex. divisionen av skalarer inte behöver vara definierad, eller att skalarerna inte behöver vara kommutativa) kallas den resulterande mer generella algebraiska strukturen för en modul.
I det här fallet kan ”skalarerna” vara komplicerade objekt. Om R till exempel är en ring kan vektorerna i produktrummet Rn göras till en modul med n×n-matriserna med poster från R som skalärer. Ett annat exempel kommer från manifestteori, där rummet av sektioner av tangentbunten bildar en modul över algebra av reella funktioner på manifestet.
SkalartransformationRedigera
Den skalära multiplikationen av vektorrum och moduler är ett specialfall av skalning, ett slags linjär transformation.
Skalära operationer (datavetenskap)Redigera
Operationer som gäller ett enda värde åt gången.
- Skalär processor vs. vektorprocessor eller superskalär processor
- Variabel (datavetenskap) som ibland också kallas ”skalär”
.