Vad är R-konstanten i PV=nRT?

I kemin är formeln PV=nRT tillståndsekvationen för en hypotetisk idealisk gas. Den ideala gaslagen beskriver beteendet hos ett idealt gasprov och hur detta beteende är relaterat till gasprovets tryck (P), temperatur (T), volym (V) och molaritet (n). I ekvationen PV=nRT står termen ”R” för den universella gaskonstanten.

Den universella gaskonstanten är en proportionalitetskonstant som relaterar energin i ett gasprov till gasens temperatur och molaritet. Den kallas ibland för den ideala gaskonstanten, den molära gaskonstanten. Den kallas också ibland Regnaultkonstanten, för att hedra den franske kemisten Henri Regnault vars kvantitativa data först användes för att exakt beräkna värdet av konstanten. Det för närvarande accepterade värdet för den universella gaskonstanten R är:

R-konstanten = 8,3144598 J/mol-K

Enheten för gaskonstanten är joule per mol-kelvin. Detta kan läsas som ”arbete per mol per grad” I huvudsak relaterar gaskonstanten den molära mängden gas och gasens temperatur till mängden kinetisk energi i gasen. Man kan beräkna den universella gaskonstanten genom att dividera produkten av gasens tryck och volym med gasens molära mängd och temperatur:

R = PV/nT

Derivation av lagen om den ideala gasen

”Gaser skiljer sig från andra former av materia, inte bara genom sin förmåga till obestämd expansion, så att de kan fylla vilket kärl som helst, hur stort det än må vara, och genom den stora effekt som värme har när den utvidgar dem, utan också genom likformigheten och enkelheten hos de lagar som reglerar dessa förändringar.” – James Clerk Maxwell

ADVERTISERING

Lagen om ideala gaser är en av de mest fundamentala ekvationerna inom den fysikaliska kemin, och den har oberoende av varandra härletts genom experimentell analys och teoretisk extrapolering. Ursprungligen uppstod idealgaslagen som en kombination av fyra andra distinkta matematiska uttryck som relaterar olika egenskaper hos en gas till varandra. De fyra enskilda lagarna är: Charles lag, Boyles lag, Gay-Lussacs lag och Avagadros lag.

Charles lag

Charles lag är en empirisk lag som säger att volymen av en gas är direkt proportionell mot gasens temperatur. Med andra ord, om man håller alla andra faktorer lika, om man ökar temperaturen på en gas, kommer man att observera en motsvarande ökning av gasens volym. På samma sätt, om man sänker temperaturen på en gas, kommer man att se en motsvarande minskning av volymen. Matematiskt kan Charles lag skrivas som:

• V ∝ T

där ”∝” betyder ”direkt proportionell mot”, eller

• V/T = konstant

Väsentligen är Charles lag ett matematiskt precist sätt att ange det ofta observerade faktum att gaser tenderar att expandera vid upphettning.

Boyles lag

Boyles lag är en gaslag som beskriver hur trycket i ett gasprov tenderar att öka när provets volym minskar. Boyles lag kan formuleras som ”trycket hos en gas i ett slutet system vid en konstant mängd och temperatur är omvänt proportionellt mot gasens volym”. Matematiskt kan detta skrivas som:

• V ∝ 1/P

eller

• PV = konstant

Boyles lag säger i princip att om vi komprimerar en gas har den mindre utrymme att befinna sig i och därför trycker den hårdare på väggarna på sin behållare.

Gay-Lussacs lag

Gay-Lussacs lag är en empirisk generalisering som noterar sambandet mellan temperaturen hos ett gasprov och dess tryck. Gay-Lussacs lag säger att ”vid en konstant volym och mängd är trycket hos en gas direkt proportionellt mot gasens temperatur. Denna lag kan skrivas matematiskt som:

• P ∝ T

eller,

• P/T = konstant

Gay-Lussacs lag säger oss i grund och botten att om vi värmer upp ett gasprov kommer vi att se en motsvarande ökning av dess tryck. Temperatur är bara ett mått på molekylär rörelse, så uppvärmning av en gas gör att de ingående partiklarna rör sig snabbare. Ju snabbare de ingående molekylerna rör sig, desto större kraft kommer de att utöva mot behållarens väggar – gasen kommer att utöva ett större tryck. Gay-Lussacs lag ger en förklaring till varför uppvärmning av en förseglad behållare med gas kan spränga behållaren; trycket som gasen utövar blir för stort för materialet att hantera och det brister.

Avagadros lag

Den sista av de fyra delarna till ekvationen för idealgas är Avagadros lag. Avagadros lag säger att volymen av en gas vid konstant tryck och temperatur är direkt proportionell mot antalet partiklar som utgör gasen. Ett annat sätt att uttrycka lagen är att om två gasprover har samma volym vid konstant temperatur och tryck så har de två gasproverna samma antal partiklar. Ekvationen för Avagadros lag är:

• V ∝ n

där n är antalet enskilda partiklar. Avagadros lag kan också skrivas som:

• V/n = konstant

Avagadros lag är mycket intuitiv. Det är en vanlig uppfattning att, om allt annat är lika, ju mer gas det finns, desto mer utrymme kommer den att ta upp. Alternativt, om två gaser har samma volym måste de ha samma mängd partiklar.

Avadagars lag för ideala gaser

När vi nu har de fyra grundläggande tillståndsekvationerna för gas kan vi kombinera dem till ett enda uttryck för att få fram lagen för ideala gaser. Vi kan kombinera lagarna så här:

• V ∝ T (Charles lag)
• V ∝ 1/P (Boyles lag)
• P ∝ T (Gay-Lussacs lag)
• V ∝ n (Avagadros lag)

Kombinera dessa uttryck ger oss:

• V ∝ nT/P

Då ”∝” representerar direkt proportionalitet kan vi ersätta ”∝” med ett ”=” genom att lägga till en proportionalitetskonstant på höger sida. Experimentellt har vi verifierat att denna konstant är lika med värdet av R, så genom att lägga till R i ekvationen får vi följande resultat::

• V = nRT/P

Omställ denna ekvation ger oss:

• PV = nRT

Betydelsen av R-konstanten

”Poeterna säger att vetenskapen tar bort skönheten hos stjärnorna – bara klot av gasatomer. Även jag kan se och känna stjärnorna i en ökennatt. Men ser jag mindre eller mer?” – Richard P. Feynman

Så vad exakt är den universella gaskonstanten? De andra parametrarna i den ideala gasekvationen verkar alla motsvara någon fysikaliskt betydelsefull variabel; tryck (P), volym (V), mängden av ett ämne (n) och temperatur (T). R verkar dock inte göra detta. Liksom många matematiska konstanter motsvarar termen R inte uttryckligen någon fysisk kvantitet, enhet eller process. I stället representerar parametern R ett förhållande som gäller mellan vissa fysiska storheter, särskilt trycket och volymen hos en gas, och temperaturen och mängden gas. R är särskilt lika med förhållandet PV/nT.

Det exakta numeriska värdet av gaskonstanten varierar faktiskt med de valda enheterna. Det numeriska värdet av R som 8,3144598 är ett resultat av de specifika enheter vi använder. Detta värde på R är ett resultat av att vi mäter gasernas fysikaliska storheter i standard-SI-enheterna. Standard-SI-enheterna och deras symbol för varje parameter i ekvationen för den ideala gasen är:

• Dryck (P) – Newton (kg-m/s²)
• Volym (V) – Meter (m³)
• Temperatur (T) – Kelvin (K)
• Mängd substans (n) – mol (mol)

Om vi ändrar våra enheter, så kommer även det numeriska värdet på gaskonstanten att ändras. Säg till exempel att vi bestämt oss för att mäta gasens volym i liter (L) i stället för meter, och gasens tryck i standardatmosfärer (atm) i stället för Newton. Med dessa enheter får den universella gaskonstanten det numeriska värdet R = 0,082057 L-atm/mol-K. På samma sätt kan vi säga att vi bestämmer oss för att mäta trycket i millimeter kvicksilver (mmHg). Då får gaskonstanten ett numeriskt värde på R = 62,3636711 m³-mmHG/mol-K

Det är viktigt att inse att om man ändrar enheterna betyder det inte att själva gaskonstanten ändras. Gaskonstanten är just en konstant och förändras därför inte. Att ändra enheterna ändrar endast det numeriska värde som används för att uttrycka konstanten. Teoretiskt sett skulle det vara möjligt att välja ett enhetssystem som ändrar gaskonstantens numeriska värde till 1. I ett sådant enhetssystem skulle den ideala gasekvationen bara kunna skrivas som PV = nT. Tänk dock på att i denna ekvation har den universella gaskonstanten inte försvunnit. Gaskonstanten finns fortfarande kvar, den har bara ett numeriskt värde på R = 1. Själva konstanten behövs fortfarande för att ge en lämplig dimensionell analys av de enheter som används.

I huvudsak representerar parametern R ett förhållande som gäller mellan gasens fysikaliska parametrar och de enheter som vi väljer för att mäta dessa fysikaliska parametrar. Därför kan gaskonstanten användas för att omvandla gasens fysiska mätningar till olika enhetssystem.

Begränsningar av den ideala gaslagen

Det finns en anledning till att den kallas den ”ideala” gaslagen istället för den ”faktiska” gaslagen. Giltigheten hos den ideala gasekvationen beror på en handfull idealiserade antaganden om gasers karaktär och beteende. För det första antar den ideala gaslagen att partiklarna i en gas lyder Newtons mekaniska lagar. Detta innebär att gaspartiklar antas lyda de kraft- och gravitationslagar som beskrivs av Isaac Newton och effekterna av elektrostatiska intermolekylära attraktioner beaktas inte.

”Dagens science fiction är morgondagens science fact.” – Isaac Asimov

För det andra antas att gasens molekyler är försumbart små jämfört med gasens hela volym. Detta antagande gör det möjligt för forskarna att förenkla sina beräkningar av volymen genom att utelämna den icke-nollvolym som molekylerna faktiskt har.

För det tredje anses kollisioner mellan molekylerna och behållarens väggar vara perfekt elastiska – det vill säga ingen kinetisk energi går förlorad vid kollisioner. I själva verket absorberas en liten mängd kinetisk energi av behållarens väggar och avges som värme. Normalt sett är denna lilla mängd energi försumbar och kan ignoreras.

På grund av dessa antaganden är den ”universella” gaslagen tekniskt sett inte universell och är endast korrekt inom ett visst område. I ett mycket kallt gasprov övervinner intermolekylära interaktioner partiklarnas kinetiska energi, vilket gör att gasens beteende avviker från det ideala beteendet. Mer komplexa tillståndsekvationer, såsom van der Waals-ekvationer, används för att redogöra för effekterna på partiklarnas beteende på grund av intermolekylära krafter.