Wiskunde als taal: Understanding the Equals Sign

mei 15, 2021admin

Het is makkelijk te vergeten dat wiskunde een taal is om ideeën over te brengen. Als woorden, “twee en drie is gelijk aan vijf” is omslachtig. Getallen en bewerkingen vervangen door symbolen helpt: “2 + 3 is gelijk aan 5”.

Maar we kunnen beter. In 1557 vond Robert Recorde het gelijkheidsteken uit, geschreven met twee parallelle lijnen (=), omdat “noe 2 thynges, can be moare equalle”.

“2 + 3 = 5” is veel gemakkelijker te lezen. Helaas verandert de betekenis van “equals” met de context – vraag maar aan programmeurs die =, == en === moeten onderscheiden.

Een “equals” B is een generieke conclusie: welke specifieke relatie willen we overbrengen?

Simplificatie

Ik zie “2 + 3 = 5” als “2 + 3 kan worden vereenvoudigd tot 5”. Het gelijkheidsteken zet een complexe vorm links om in een equivalente, eenvoudiger vorm rechts.

Tijdelijke Opdracht

Statements als “snelheid = 50” betekenen “de snelheid is 50, voor dit scenario”. Het is alleen goed voor het probleem waar het om gaat, en het is niet nodig dit “feit” te onthouden.

Fundamenteel verband

Bedenk een wiskundige waarheid als $a^2 + b^2 = c^2$, waarbij a, b, en c de zijden van een rechthoekige driehoek zijn.

Ik lees dit gelijkteken als “moet altijd gelijk zijn aan” of “kan worden gezien als” omdat het een permanent verband aangeeft, geen toeval. De rekensom van $3^2 + 4^2 = 5^2$ is een vereenvoudiging; de meetkunde van $a^2 + b^2 = c^2$ is een diepe wiskundige waarheid.

De formule om 1 bij n op te tellen is:

${\displaystyle{n(n+1)}{2}}$

wat gezien kan worden als een soort meetkundige herschikking, combinatoriek, middeling, of zelfs het maken van lijsten.

Factuele definitie

Statements als

$Displaystyle{e = \lim_{nto\infty} \links( 1 + \frac{100%}{n} rechts)^n}$

zijn definities naar onze keuze; de linkerkant is een snelkoppeling voor de rechterkant. Het is vergelijkbaar met tijdelijke toewijzing, maar gereserveerd voor “feiten” die niet veranderen tussen scenario’s (e heeft altijd dezelfde waarde in elke vergelijking, maar “snelheid” kan veranderen).

Beperkingen

Hier is een lastige. We zouden kunnen schrijven

x + y = 5

x – y = 3

wat voorwaarden aangeeft waarvan we willen dat ze waar zijn. Ik lees dit als “x + y moet 5 zijn, indien mogelijk” en “x – y moet 3 zijn, indien mogelijk”. Als we aan de voorwaarden voldoen (x=4, y=1), geweldig!

Als we niet aan beide doelen kunnen voldoen (x + y = 5; 2x + 2y = 9), dan kunnen de vergelijkingen afzonderlijk waar zijn, maar niet samen.

Voorbeeld: De formule van Euler ontraadselen

Het ontrafelen van het gelijkheidsteken heeft me geholpen om de formule van Euler te ontcijferen:

${e^{i \cdot \pi} = -1}$

Een vreemd beestje, inderdaad. Wat voor “gelijken” zijn het?

Een pedant zou kunnen zeggen dat het maar een vereenvoudiging is en de calulus tevoorschijn halen om het aan te tonen. Dat is niet verhelderend: er is een fundamenteel verband te ontdekken.

e^i*pi verwijst naar dezelfde bestemming als -1. Twee vingers die naar dezelfde maan wijzen.

Ze zijn beide manieren om “de andere kant van de eenheidscirkel, 180 graden verder” te beschrijven. -1 loopt daarheen, recht door het gras, terwijl e^i*pi de toeristische route neemt en door de denkbeeldige dimensie draait. Dit werkt voor elk punt op de cirkel: draai erheen, of beweeg in rechte lijnen.

euler's formule's formula

Twee paden met dezelfde bestemming: dat is wat hun gelijkheid betekent. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection (“simplifies to”, “has been chosen to be”, “refers to the same concept as”).

Happy math.

Wiskunde als taal: Understanding the Equals Sign

Voorbeeld: De formule van Euler ontraadselen

Other Posts In This Series

Geef een antwoord Antwoord annuleren