Fyzika
Příklad 1. Výpočet rychlostí po pružné srážce
Vypočítejte rychlosti dvou objektů po pružné srážce za předpokladu, že m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s a v2 = 0.
Strategie a pojetí
Nejprve si představte, co znamenají počáteční podmínky – malý objekt narazí do většího objektu, který je zpočátku v klidu. Tato situace je o něco jednodušší než situace na obrázku 1, kde se oba objekty zpočátku pohybují. Máme za úkol najít dvě neznámé (konečné rychlosti v′1 a v′2). Abychom našli dvě neznámé, musíme použít dvě nezávislé rovnice. Protože tato srážka je pružná, můžeme použít výše uvedené dvě rovnice. Obě můžeme zjednodušit tím, že objekt 2 je zpočátku v klidu, a tedy v2=0. Jakmile tyto rovnice zjednodušíme, algebraicky je spojíme a vyřešíme neznámé.
Řešení
U této úlohy si všimneme, že v2=0, a použijeme zachování hybnosti. Tedy,
p1 = p′1 + p′2 neboli m1v1=m1v′1+m2v′2.
Použijeme-li zachování vnitřní kinetické energie a to, že v2=0,
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2\
Řešení první rovnice (rovnice hybnosti) pro v′2, dostaneme
v′_2=\frac{m_1}{m_2}\levice(v_1-v′_1\right)\\.
Při dosazení tohoto výrazu do druhé rovnice (rovnice vnitřní kinetické energie) odpadá proměnná v′2 a jako neznámá zůstává pouze v′1 (algebra je ponechána jako cvičení pro čtenáře). Každá kvadratická rovnice má dvě řešení; v tomto příkladu jsou to
v′1 = 4 . 00 m/s a v′1=-3,00 m/s.
Jak bylo uvedeno při setkání s kvadratickými rovnicemi v předchozích kapitolách, obě řešení mohou, ale nemusí mít smysl. V tomto případě je první řešení shodné s počáteční podmínkou. První řešení tedy představuje situaci před srážkou a je vyřazeno. Druhé řešení (v′1=-3,00 m/s) je záporné, což znamená, že první objekt se odrazí dozadu. Když tuto zápornou hodnotu v′1 použijeme k určení rychlosti druhého objektu po srážce, dostaneme
v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}{3,50\text{ kg}}\levice\text{m/s}\
nebo
v′2=1,00 m/s.
Diskuse
Výsledek tohoto příkladu je intuitivně rozumný. Malý předmět narazí do většího předmětu v klidu a odrazí se dozadu. Větší je odražen dopředu, ale malou rychlostí. (Je to podobné, jako když se kompaktní automobil odrazí dozadu od plnohodnotného SUV, které je zpočátku v klidu.) Pro kontrolu zkuste vypočítat vnitřní kinetickou energii před srážkou a po ní. Zjistíte, že vnitřní kinetická energie se nezměnila a činí 4,00 J. Zkontrolujte také celkovou hybnost před srážkou a po ní; zjistíte, že se také nezměnila.
Výše zapsané rovnice pro zachování hybnosti a vnitřní kinetické energie lze použít k popisu libovolné jednorozměrné pružné srážky dvou objektů. V případě potřeby lze tyto rovnice rozšířit na více objektů.