Jak dobré je vaše skóre v bowlingu?“

.
.

„Vše bude v pořádku, pokud budete používat svou mysl pro svá rozhodnutí a myslet pouze na svá rozhodnutí.“ Od roku 2007 se věnuji sdílení radosti z teorie her a matematiky. MindYourDecisions má nyní díky podpoře komunity více než 1 000 bezplatných článků bez reklam! Pomozte a získejte dřívější přístup k příspěvkům díky příspěvku na Patreonu.

.
.

Obvykle hraji bowling se skóre kolem 130, ale onehdy jsem trefil šest striků a skončil s výsledkem 215.

Chvíli jsem se radoval z vysokého skóre, ale pak jsem začal přemýšlet kritičtěji. Zajímalo mě, jak dobré je to skóre ve statistickém smyslu.

Byl jsem s přáteli, kteří se zabývají matematikou, a naše diskuse přinesla mnoho otázek.

Kolik různých bowlingových her je možných? Jaký je průměrný výsledek bowlingu? Kolika způsoby lze dosáhnout každého bowlingového skóre (jaké je rozdělení bowlingových skóre)?

Provedl jsem malý průzkum a s potěšením jsem zjistil, že lidé již provedli matematické výpočty, aby na tyto otázky odpověděli. Zde je část zajímavé matematiky.

Zapsání bowlingové hry v matematických termínech

Prvním krokem v řešení problému je převedení bowlingové hry do matematiky. Jde o to vytvořit krátký zápis, který by hru kompaktně popsal. Budu se řídit zápisem vyvinutým v tomto článku „Je průměrné skóre v bowlingu strašné?“

Uvažujme hned první snímek hry. Jaké jsou možné výsledky při házení koulí?

Jednou možností je, že srazíte všech 10 kuželek strikem a první frame končí.

Druhou možností je, že nesrazíte všech 10 kuželek. Pak máte druhou možnost srazit zbývající kuželky. Pokud zbývající kuželky srazíte, je to náhradní hod.

Matematicky můžeme kuželky modelovat jako množinu dvou čísel: počet sražených kuželek při prvním hodu a počet při druhém hodu. To můžeme zapsat jako uspořádanou množinu (první hod, druhý hod) = (x , y).

Pokud srazíte 3 kuželky a pak 4, množina je (3, 4). Nebo pokud srazíte 3 a pak 7, abyste vytvořili rezervu, bude to zapsáno (3,7)

Při striku srazíte všech 10 kuželek a nedostanete druhý hod. Tento speciální případ můžeme zapsat jako (10, 0) s tím, že druhý hod jste vlastně nikdy neprovedli.

Pomocí tohoto zápisu můžeme kompaktně popsat možné výsledky v prvním snímku. Výsledky lze zapsat jako uspořádanou dvojici dvou čísel, kde obě čísla jsou nulová nebo kladná a součet obou čísel je nejvýše 10 – protože maximum, které můžete v jednom hodu shodit, je 10 kuželek.

V množinovém zápisu se to zapíše

Prvních devět snímků hry funguje stejným způsobem.

Desátý snímek hry je trochu jiný. Pokud v prvním hodu získáte strike nebo ve druhém hodu rezervu, můžete v desátém framu provést bonusový třetí hod. Proto musí být desátý frame reprezentován třemi čísly se speciálními vztahy podle toho, zda je proveden strike nebo spare.

Existují čtyři různé možnosti:

-Dva hody jsou provedeny, méně než 10 je sraženo (žádný třetí hod)
-Druhým hodem je proveden spare
-První hod je strike, ale druhý ne
-Dva striky jsou provedeny

Zápis je složitější, ale v podstatě je to tak, jak byste tyto čtyři možnosti zapsali v množinovém zápisu. Here is the formal description:

Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.

In other words, a bowling game is a sequence:

And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.

We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.

How many bowling games are possible?

This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.

We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.

It remains to count the number of elements in each of these sets. Poté počet způsobů vynásobíme a získáme celkový počet her.

Množina A je počet způsobů, kdy součet dvou kladných celých čísel je 10 nebo méně. Jedná se o klasický kombinatorický problém.

Existuje chytrý způsob, jak spočítat počet řešení. Přes Google Books jsem našel odvození pro hledání počtu způsobů, kterými se n nezáporných celých čísel sčítá s celým číslem r:

Odkaz na stranu 46 knihy Principles and techniques in combinatorics na Google Books

Vzorec je C(r + n -1, r)

V naší bowlingové množině chceme najít způsob, kterým se dvě čísla (n = 2) sčítají s 10 nebo méně (r = 10, 9, 8, …, 0).

Chceme vypočítat vzorec pro každou hodnotu r a pak je všechny sečíst. Je to méně práce, než by se mohlo zdát.

Pro r = 10 vidíme, že vzorec je C(11, 10), což je hodnota 11. Pro r = 9 je vzorec C(10, 9), což je 10. Vzorec pokračuje i pro nižší hodnoty r, takže nakonec chceme sečíst 11 + 10 + 9 + … 1.

To se snadno vypočítá jako 66. Z toho vyplývá, že je třeba sečíst 11 + 10 + 9 + … 1.

. Pro každý z prvních devíti snímků tedy existuje 66 způsobů.

Nyní chceme znát počet způsobů pro desátý snímek.

Postup je stejný jako dříve. Ušetřím vás krvavých detailů a řeknu jen, že odpověď je 241.

Nyní můžeme spočítat celkový počet kuželkářských her vynásobením těchto čísel dohromady.

Celkový počet kuželkářských her je (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), což je přibližně 5.7 x 1018

To se ani zdaleka neblíží počtu možných šachových partií, ale i tak je to opravdu velké číslo.

Pro představu, na odehrání tolika různých partií by celý svět (6,7 x 109), hrající každý den jednu hru, potřeboval více než 2,3 milionu let.

Jaké je průměrné skóre v bowlingu?

Tato část je matematicky ještě složitější.

Takový trik spočívá v převodu sad na skóre na základě speciálních pravidel pro spares (bonus za další hod) a strikes (bonus za další dva hody).

Poté lze průměr vypočítat součtem všech možných skóre podle počtu her, který byl odvozen dříve.

Ukazuje se, že průměrné skóre v bowlingu je přibližně 80 (přesněji řečeno, spíše 79.7).

Považujte to za ujištění, že i skromné skóre jako 100 je nadprůměrné!

Podrobnosti odvození jsou vysvětleny v následujícím úryvku:

Odkaz na Mean bowling score na Google Books

Článek je zastaralý, protože na jeho konci zůstává otevřená otázka určení úplného rozdělení bowlingových skóre. To bylo ve skutečnosti provedeno.

Jaké je rozdělení bowlingového skóre?

Závěrečná a opravdu těžká otázka spočívá ve zjištění rozdělení bowlingového skóre.

To znamená, jaký je pro každé skóre n počet způsobů s(n), jak tohoto skóre dosáhnout.

V některých případech je odpověď zřejmá. Existuje pouze 1 způsob, jak dosáhnout skóre 0, stejně jako existuje pouze 1 způsob, jak dosáhnout skóre 300, nebo 299, nebo 298, a tak dále až do 291.

Ostatní případy je složitější zjistit. Existuje 20 způsobů, jak získat skóre 1, a existuje 11 způsobů, jak získat skóre 290.

Vyřešit celé rozdělení vyžaduje chytré výpočty. Výsledky jsou popsány na této nádherné webové stránce, která obsahuje následující pěknou grafiku:

zdroj obrázku: Vše o skóre v bowlingu

Všimněte si, že skóre v bowlingu je silně zkreslené! Skóre nad 120 je méně pravděpodobné, protože vyžaduje, aby hráč získal rozumný počet spare a striků.

Jiný způsob, jak o tom přemýšlet, je, že i skromné skóre 115 je na 99. percentilu.

Pamatujte si to, až budete příště hrát bowling. Vzhledem k rozsahu možných bowlingových skóre je vaše skóre pravděpodobně lepší, než si myslíte!

(Percentily se změní, pokud budeme vycházet z rozdělení skutečných bowlingových dat. Bohužel se mi k tomu nepodařilo najít žádné statistiky.)