Objemový průtok

Objemový průtok lze také definovat takto:

Q = v ⋅ A {\displaystyle Q=\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }

kde:

• v = rychlost proudění
• A = vektor plochy/povrchu průřezu

Výše uvedená rovnice platí pouze pro ploché, rovinné průřezy. Obecně, včetně zakřivených ploch, se rovnice stává plošným integrálem:

Q = ∬ A v ⋅ d A {\displaystyle Q=\iint _{A}\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }

Tato definice se používá v praxi. Plocha potřebná k výpočtu objemového průtoku je reálná nebo imaginární, rovná nebo zakřivená, buď jako plocha průřezu, nebo jako plocha. Vektorová plocha je kombinací velikosti plochy, kterou prochází objem, A, a jednotkového vektoru normály k ploše, n̂. Vztah je A = An̂.

Důvod pro bodový součin je následující. Jediný objem, který protéká průřezem, je množství normály k ploše, tedy rovnoběžné s jednotkovou normálou. Toto množství je:

Q = v A cos θ {\displaystyle Q=vA\cos \theta }

kde θ je úhel mezi jednotkovou normálou n̂ a vektorem rychlosti v látkových prvků. Množství procházející průřezem se zmenší o faktor cos θ. S rostoucím θ prochází méně objemu. Látka, která prochází tečnou k ploše, tj. kolmo na jednotkovou normálu, plochou neprochází. K tomu dochází, když θ = π/2, a proto je tato velikost objemového průtoku nulová:

Q = v A cos ( π 2 ) = 0 {\displaystyle Q=vA\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}