Poměry a proporce a jejich řešení

Povíme si něco o poměrech a proporcích. Když mluvíme o rychlosti auta nebo letadla, měříme ji v mílích za hodinu. Tomu se říká rychlost a je to druh poměru. Poměr je způsob, jak porovnat dvě veličiny pomocí dělení jako v případě mílí za hodinu, kde porovnáváme míle a hodiny.

Poměr lze zapsat třemi různými způsoby a všechny se čtou jako „poměr x k y“

$$x\: to\: y$$

$x:y$$

$\frac{x}{y}$$

Poměr je naproti tomu rovnice, která říká, že dva poměry jsou rovnocenné. Například pokud z jednoho balení směsi na sušenky vznikne 20 sušenek, je to stejné, jako kdybychom řekli, že ze dvou balení vznikne 40 sušenek.

$$\frac{20}{1}=\frac{40}{2}$$

Proporce se čte jako „x je k y jako z k w“

$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w}. \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{x}{100}={\color{green} {100\, \cdot }}\, \frac{2}{20}$$

$x=\frac{200}{20}$$

$x=10$$

Pokud je neznámé číslo ve jmenovateli, můžeme použít další metodu, která zahrnuje křížový součin. Křížový součin je součinem čitatele jednoho z poměrů a jmenovatele druhého poměru. Křížový součin poměru se vždy rovná

Pokud opět použijeme výše uvedený příklad se směsí sušenek

$$\frac{{\color{zelená} {20}}}{{\color{modrá} {1}}}=\frac{{\color{modrá}}}. {40}}{{\color{green} {2}}}$$

${\color{blue} {1}}\cdot {\color{blue} {40}}={\color{green} {2}}\cdot {\color{green} {20}}=40$$

Říká se, že v poměru, jestliže

$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: kde\: y,w\neq 0$$

$$xw=yz$$

Podíváte-li se na mapu, vždy vám v jednom z rohů řekne, že 1 palec mapy odpovídá ve skutečnosti mnohem větší vzdálenosti. Tomu se říká škálování. Měřítka často používáme při zobrazování různých objektů. Škálování spočívá ve znovuvytvoření modelu objektu a sdílení jeho proporcí, kde se však liší velikost. Lze zvětšovat (zvětšovat) nebo zmenšovat (zmenšovat). Například měřítko 1:4 představuje čtvrtinu. Jakákoli míra, kterou vidíme na modelu, by tedy odpovídala 1/4 skutečné míry. Chceme-li vypočítat obrácenou hodnotu, kdy máme zeď vysokou 20 stop a chceme ji reprodukovat v měřítku 1:4, jednoduše vypočítáme:

$$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$

V modelu v měřítku 1:X, kde X je konstanta, budou všechna měření 1/X – skutečného měření. Stejná matematika platí, když chceme zvětšovat. Při zobrazení něčeho v měřítku 2:1 se pak všechna měření stanou dvakrát větší než ve skutečnosti. Když chceme zjistit skutečnou míru, dělíme 2.

Video lekce

Zjistíme x

$$\frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$$