Skalár (matematika)

7 července, 2021admin

Skaláry jsou reálná čísla používaná v lineární algebře, na rozdíl od vektorů. Na tomto obrázku je zobrazen euklidovský vektor. Jeho souřadnice x a y jsou skaláry, stejně jako jeho délka, ale v není skalár.

Skaláry vektorových prostorůUpravit

Vektorový prostor je definován jako množina vektorů, množina skalárů a operace skalárního násobení, která přenáší skalár k a vektor v na jiný vektor kv. Například v souřadnicovém prostoru je skalární násobení k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}.

$k(v_1, v_2, \dots, v_n)$

dává ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}

$(kv_1, kv_2, \dots, k v_n)$

. V (lineárním) prostoru funkcí je kƒ funkce x ↦ k(ƒ(x)).

Skaláry lze vzít z libovolného pole, včetně racionálních, algebraických, reálných a komplexních čísel, a také z konečných polí.

Skaláry jako vektorové komponentyUpravit

Podle základní věty lineární algebry má každý vektorový prostor bázi. Z toho vyplývá, že každý vektorový prostor nad skalárním polem K je izomorfní souřadnicovému vektorovému prostoru, kde souřadnice jsou prvky K. Například každý reálný vektorový prostor dimenze n je izomorfní n-rozměrnému reálnému prostoru Rn.

Skaláry v normovaných vektorových prostorechEdit

Alternativně lze vektorový prostor V vybavit normovací funkcí, která každému vektoru v ve V přiřadí skalár ||v||. Podle definice násobení v skalárem k násobí také jeho normu |k|. Interpretujeme-li ||v|| jako délku v, lze tuto operaci popsat jako škálování délky v koeficientem k. Vektorový prostor vybavený normou se nazývá normovaný vektorový prostor (nebo normovaný lineární prostor).

Norma je obvykle definována jako prvek skalárního pole V K, což omezuje toto pole na pole, která podporují pojem znaménka. Navíc, má-li V dimenzi 2 nebo více, musí být K uzavřeno pod odmocninami, stejně jako pod čtyřmi aritmetickými operacemi; racionální čísla Q jsou tedy vyloučena, ale surdovo pole je přijatelné. Z tohoto důvodu není každý prostor skalárního součinu normovaným vektorovým prostorem.

Skaláry v modulechUpravit

Když se požadavek, aby množina skalárů tvořila pole, zmírní tak, že stačí, aby tvořila kruh (takže například nemusí být definováno dělení skalárů nebo skaláry nemusí být komutativní), nazývá se výsledná obecnější algebraická struktura modul.

V tomto případě mohou být „skaláry“ komplikované objekty. Je-li například R prstenec, lze z vektorů součinového prostoru Rn vytvořit modul, jehož skaláry budou matice n×n s položkami z R. V tomto případě se jedná o modul, který se skládá z n×n matic. Jiný příklad pochází z teorie množin, kde prostor řezů tečného svazku tvoří modul nad algebrou reálných funkcí na množině.

Škálovací transformaceUpravit

Skalární násobení vektorových prostorů a modulů je speciálním případem škálování, druhu lineární transformace.

Skalární operace (informatika)Upravit

Operace, které se vztahují vždy na jednu hodnotu.

Skalární procesor vs. vektorový procesor nebo superskalární procesor
Proměnná (informatika) někdy také označovaná jako „skalární“