V PV=nRT Jaká je konstanta R?

V chemii je vzorec PV=nRT stavovou rovnicí pro hypotetický ideální plyn. Zákon ideálního plynu popisuje chování ideálního vzorku plynu a to, jak toto chování souvisí s tlakem (P), teplotou (T), objemem (V) a molaritou (n) vzorku plynu. V rovnici PV=nRT znamená výraz „R“ univerzální plynovou konstantu.

Univerzální plynová konstanta je konstanta úměrnosti, která vztahuje energii vzorku plynu k teplotě a molaritě plynu. Někdy se nazývá ideální plynová konstanta, molární plynová konstanta. Někdy se také nazývá Regnaultova konstanta, na počest francouzského chemika Henriho Regnaulta, jehož kvantitativní údaje byly poprvé použity k přesnému výpočtu hodnoty konstanty. V současnosti přijímaná hodnota univerzální plynové konstanty R je:

Konstanta R = 8,3144598 J/mol-K

Jednotkou plynové konstanty je joule na mol-kelvin. Lze ji číst jako „práce na mol na stupeň“ V podstatě plynová konstanta vztahuje molární množství plynu a teplotu plynu k množství kinetické energie v plynu. Univerzální plynovou konstantu lze vypočítat vydělením součinu tlaku a objemu plynu molaritou a teplotou plynu:

R = PV/nT

Derivace zákona ideálního plynu

„Plyny se od ostatních forem hmoty liší nejen svou schopností neomezené expanze, takže mohou naplnit jakoukoli nádobu, ať je jakkoli velká, a velkým účinkem tepla, které je rozšiřuje, ale i jednotností a jednoduchostí zákonů, které tyto změny regulují.“ – James Clerk Maxwell

ADVERTISEMENT

Zákon ideálního plynu je jednou z nejzákladnějších rovnic ve fyzikální chemii a byl nezávisle na sobě odvozen na základě experimentální analýzy a teoretické extrapolace. Původně vznikl zákon ideálního plynu jako kombinace 4 dalších odlišných matematických výrazů, které vzájemně propojují různé vlastnosti plynu. Tyto čtyři jednotlivé zákony jsou:

Charlesův zákon

Charlesův zákon je empirický zákon, který říká, že objem plynu je přímo úměrný teplotě plynu. Jinými slovy, při zachování všech ostatních faktorů stejných, pokud zvýšíme teplotu plynu, budeme pozorovat odpovídající zvýšení objemu plynu. Stejně tak, pokud se teplota plynu sníží, dojde k odpovídajícímu zmenšení jeho objemu. Matematicky lze Charlesův zákon zapsat takto:

• V ∝ T

kde „∝“ znamená „přímo úměrný“, neboli

• V/T = konstanta

Charlesův zákon je v podstatě matematicky přesný způsob, jak vyjádřit často pozorovanou skutečnost, že plyny mají při zahřívání tendenci se rozpínat.

Boylův zákon

Boylův zákon je plynový zákon, který popisuje, jak má tlak vzorku plynu tendenci se zvyšovat při zmenšování objemu tohoto vzorku. Boylův zákon lze vyjádřit takto: „Tlak plynu v uzavřené soustavě při konstantním množství a teplotě je nepřímo úměrný objemu plynu“. Matematicky jej lze zapsat takto:

• V ∝ 1/P

nebo

• PV = konstanta

Boylův zákon nám v podstatě říká, že pokud plyn stlačíme, má méně prostoru, a proto více tlačí na stěny na své nádobě.

Gay-Lussacův zákon

Gay-Lussacův zákon je empirické zobecnění, které zaznamenává vztah mezi teplotou vzorku plynu a jeho tlakem. Gay-Lussacův zákon říká, že „při konstantním objemu a množství je tlak plynu přímo úměrný teplotě plynu. Tento zákon lze matematicky zapsat jako:

• P ∝ T

neboli,

• P/T = konstanta

Zjednodušeně řečeno, Gay-Lussacův zákon nám říká, že pokud zahřejeme vzorek plynu, zaznamenáme odpovídající zvýšení jeho tlaku. Teplota je pouze měřítkem pohybu molekul, takže zahřívání plynu způsobuje, že se jeho částice pohybují rychleji. Čím rychleji se molekuly pohybují, tím větší silou budou působit proti stěnám nádoby – plyn bude vyvíjet větší tlak. Gay-Lussacův zákon nabízí vysvětlení, proč zahřívání uzavřené nádoby s plynem může vést k jejímu roztržení; tlak vyvíjený plynem je příliš velký na to, aby ho materiál zvládl, a nádoba praskne.

Avagadrův zákon

Poslední ze čtyř částí rovnice ideálního plynu je Avagadrův zákon. Avagadrův zákon říká, že objem plynu při konstantním tlaku a teplotě je přímo úměrný počtu částic, které plyn tvoří. Jiný způsob vyjádření zákona je, že pokud mají 2 vzorky plynu při konstantní teplotě a tlaku stejný objem, pak mají tyto 2 vzorky plynu stejný počet částic. Rovnice pro Avagadrův zákon zní:

• V ∝ n

kde n je počet jednotlivých částic. Avagadrův zákon lze také zapsat jako:

• V/n = konstanta

Avagadrův zákon je velmi intuitivní. Podle zdravého rozumu platí, že čím více je plynu, tím více místa zabere, pokud jsou všechny ostatní věci stejné. Případně platí, že pokud mají dva plyny stejný objem, musí mít stejné množství částic.

Vyvození zákona ideálního plynu

Teď, když máme 4 základní stavové rovnice pro plyn, můžeme je spojit do jediného výrazu a získat zákon ideálního plynu. Zákony můžeme kombinovat takto:

• V ∝ T (Charlesův zákon)
• V ∝ 1/P (Boyleův zákon)
• P ∝ T (Gay-Lussacův zákon)
• V ∝ n (Avagadrův zákon)

Kombinace těchto výrazů nám dává:

• V ∝ nT/P

Protože „∝“ představují přímou úměrnost, můžeme „∝“ nahradit „=“ přidáním konstanty úměrnosti na pravou stranu. Experimentálně jsme ověřili, že tato konstanta je rovna hodnotě R, takže přidáním R do rovnice získáme::

• V = nRT/P

Zpětným uspořádáním této rovnice získáme:

• PV = nRT

Význam konstanty R

„Básníci říkají, že věda ubírá hvězdám na kráse – jsou to pouhé koule atomů plynu. I já vidím hvězdy za pouštní noci a cítím je. Ale vidím méně, nebo více?“ – Richard P. Feynman

Takže co přesně je univerzální plynová konstanta? Zdá se, že všechny ostatní parametry v rovnici ideálního plynu odpovídají nějaké fyzikálně významné veličině: tlaku (P), objemu (V), látkovému množství (n) a teplotě (T). Zdá se však, že R tomu neodpovídá. Stejně jako u mnoha jiných matematických konstant se výraz R explicitně nevztahuje k nějaké fyzikální veličině, entitě nebo procesu. Místo toho parametr R představuje vztah, který platí mezi některými fyzikálními veličinami, konkrétně mezi tlakem a objemem plynu a teplotou a množstvím plynu. Konkrétně se R rovná poměru PV/nT.

Přesná číselná hodnota plynové konstanty se ve skutečnosti liší podle zvolených jednotek. Číselná hodnota R jako 8,3144598 je důsledkem konkrétních jednotek, které používáme. Tato hodnota R je výsledkem měření fyzikálních veličin plynů ve standardních jednotkách SI. Standardní jednotky SI a jejich symboly pro jednotlivé parametry v rovnici ideálního plynu jsou:

• Tlak (P) – newtony (kg-m/s²)
• Objem (V) – metry (m³)
• Teplota (T) – kelviny (K)
• Látkové množství (n) – moly (mol)

Pokud změníme naše jednotky, změní se i číselná hodnota plynové konstanty. Řekněme například, že jsme se rozhodli měřit objem plynu v litrech (L) místo v metrech a tlak plynu ve standardních atmosférách (atm) místo v newtonech. S těmito jednotkami získá univerzální plynová konstanta číselnou hodnotu R = 0,082057 L-atm/mol-K. Podobně se rozhodneme měřit tlak v milimetrech rtuti (mmHg). Pak plynová konstanta nabývá číselné hodnoty R = 62,3636711 m³-mmHG/mol-K

Je důležité si uvědomit, že změna jednotek neznamená, že se změní samotná plynová konstanta. Plynová konstanta je právě jen konstantou, a proto se nemění. Změnou jednotek se pouze mění číselná hodnota použitá k vyjádření konstanty. Teoreticky by bylo možné zvolit takovou soustavu jednotek, která by změnila číselnou hodnotu plynové konstanty na 1. V takové soustavě jednotek by bylo možné rovnici ideálního plynu zapsat pouze jako PV = nT. Mějte však na paměti, že v této rovnici univerzální plynová konstanta nezmizela. Plynová konstanta je stále přítomna, jen má číselnou hodnotu R = 1. Samotná konstanta je stále nutná k tomu, aby bylo možné provést příslušnou rozměrovou analýzu použitých jednotek.

V podstatě parametr R představuje vztah, který platí mezi fyzikálními parametry plynu a jednotkami, které jsme zvolili pro měření těchto fyzikálních parametrů. Proto lze plynovou konstantu použít k převodu fyzikálních měření plynu na různé soustavy jednotek.

Omezení zákona ideálního plynu

Zdůvodňuje se, proč se zákon nazývá „ideální“ zákon plynu místo „skutečný“ zákon plynu. Platnost rovnice ideálního plynu závisí na několika idealizovaných předpokladech o charakteru a chování plynů. Za prvé, zákon ideálního plynu předpokládá, že částice v plynu se řídí Newtonovými mechanickými zákony. To znamená, že se předpokládá, že částice plynu se řídí silovými a gravitačními zákony popsanými Isaacem Newtonem a neuvažuje se vliv elektrostatických mezimolekulárních přitažlivostí.

„Dnešní science fiction je zítřejší science fact.“

„Dnešní sci-fi je zítřejší science fact. – Isaac Asimov

Druhé, předpokládá se, že molekuly plynu jsou zanedbatelně malé ve srovnání s celým objemem plynu. Tento předpoklad umožňuje vědcům zjednodušit výpočty objemu tím, že vynechají nenulový objem, který molekuly ve skutečnosti mají.

Zatřetí se srážky mezi molekulami a stěnami nádoby považují za dokonale pružné – to znamená, že se při srážkách neztrácí žádná kinetická energie. Ve skutečnosti je nepatrné množství kinetické energie pohlceno stěnami nádoby a rozptýleno jako teplo. Za normálních okolností je toto nepatrné množství energie zanedbatelné a lze je ignorovat.

Vzhledem k těmto předpokladům není „univerzální“ plynový zákon technicky univerzální a je přesný pouze v určitém rozsahu. Konkrétně ve velmi chladném vzorku plynu překonávají mezimolekulární interakce kinetickou energii částic, což způsobuje, že se chování plynu odchyluje od ideálního chování. K zohlednění vlivu mezimolekulárních sil na chování částic se používají složitější stavové rovnice, například van der Waalsovy rovnice.