A PV=nRT-ban mi az R konstans?

A kémiában a PV=nRT képlet egy hipotetikus ideális gáz állapotegyenlete. Az ideális gáztörvény leírja egy ideális gázminta viselkedését, és azt, hogy ez a viselkedés hogyan függ a gázminta nyomásától (P), hőmérsékletétől (T), térfogatától (V) és molaritásától (n). A PV=nRT egyenletben az “R” kifejezés az egyetemes gázállandót jelenti.

Az egyetemes gázállandó egy arányossági állandó, amely a gázminta energiáját a gáz hőmérsékletéhez és molaritásához viszonyítja. Néha ideális gázállandónak, moláris gázállandónak is nevezik. Néha Regnault-állandónak is nevezik, Henri Regnault francia kémikus tiszteletére, akinek mennyiségi adatait először használták fel az állandó értékének pontos kiszámításához. Az R egyetemes gázállandó jelenleg elfogadott értéke:

R állandó = 8,3144598 J/mol-K

A gázállandó mértékegysége a joule per mol-kelvin. Ezt úgy lehet olvasni, hogy “munka per mol per fok” Lényegében a gázállandó a gáz moláris mennyiségét és a gáz hőmérsékletét viszonyítja a gázban lévő mozgási energia mennyiségéhez. Az egyetemes gázállandó úgy számítható ki, hogy a gáz nyomásának és térfogatának szorzatát elosztjuk a gáz molaritásával és hőmérsékletével:

R = PV/nT

Az ideális gáztörvény levezetése

“A gázokat nemcsak az különbözteti meg az anyag más formáitól, hogy korlátlanul tágulnak, így bármilyen nagy edényt megtöltenek, és hogy a hő nagy hatással tágítja őket, hanem az is, hogy az ezeket a változásokat szabályozó törvények egységesek és egyszerűek.” – James Clerk Maxwell

ADVERTISMENT

Az ideális gáztörvény a fizikai kémia egyik legalapvetőbb egyenlete, amelyet kísérleti elemzés és elméleti extrapoláció révén egymástól függetlenül vezettek le. Az ideális gáztörvény eredetileg 4 másik különböző matematikai kifejezés kombinációjaként jött létre, amelyek a gázok különböző tulajdonságait egymáshoz kapcsolják. A négy különálló törvény a következő: Charles törvénye, Boyle törvénye, Gay-Lussac törvénye és Avagadro törvénye.

Charles törvénye

A Charles-törvény egy empirikus törvény, amely kimondja, hogy egy gáz térfogata egyenesen arányos a gáz hőmérsékletével. Más szóval, minden más tényezőt változatlanul hagyva, ha valaki növeli egy gáz hőmérsékletét, akkor a gáz térfogatának megfelelő növekedését fogja megfigyelni. Hasonlóképpen, ha csökkentjük a gáz hőmérsékletét, akkor ennek megfelelően csökken a térfogata. Matematikailag Charles törvénye a következőképpen írható le:

• V ∝ T

ahol a “∝” azt jelenti, hogy “egyenesen arányos”, vagy

• V/T = állandó

Lényegében Charles törvénye egy matematikailag pontos módja annak a gyakran megfigyelt ténynek a megfogalmazására, hogy a gázok melegítéskor tágulásra hajlamosak.

Boyle törvénye

A Boyle-törvény egy olyan gáztörvény, amely leírja, hogy egy gázminta nyomása hajlamos növekedni, ahogy a minta térfogata csökken. Boyle törvénye a következőképpen fogalmazható meg: “egy gáz nyomása egy zárt rendszerben állandó mennyiségben és hőmérsékleten fordítottan arányos a gáz térfogatával”. Matematikailag ez így írható le:

• V ∝ 1/P

vagy

• PV = állandó

Boyle törvénye alapvetően azt mondja, hogy ha egy gázt összenyomunk, akkor kevesebb hely jut neki, ezért erősebben nyomja a tartálya falát.

Gay-Lussac törvénye

Gay-Lussac törvénye egy empirikus általánosítás, amely egy gázminta hőmérséklete és nyomása közötti kapcsolatot jegyzi fel. Gay-Lussac törvénye kimondja, hogy “állandó térfogat és mennyiség mellett a gáz nyomása egyenesen arányos a gáz hőmérsékletével. Ez a törvény matematikailag így írható fel:

• P ∝ T

vagy,

• P/T = állandó

A Gay-Lussac-törvény lényegében azt mondja ki, hogy ha egy gázmintát felmelegítünk, akkor ennek megfelelően nő a nyomása. A hőmérséklet csupán a molekuláris mozgás mérőszáma, tehát a gáz felmelegítése az alkotó részecskéket gyorsabb mozgásra készteti. Minél gyorsabban mozognak az alkotó molekulák, annál nagyobb erőt gyakorolnak a tartály falára – a gáz nagyobb nyomást gyakorol. Gay-Lussac törvénye magyarázatot ad arra, hogy egy lezárt gáztartály felmelegítése miért képes felrobbantani a tartályt; a gáz által kifejtett nyomás túl nagy lesz az anyag számára, és az megreped.

Avagadro törvénye

Az ideális gázegyenlet 4 darabja közül az utolsó az Avagadro-törvény. Avagadro törvénye kimondja, hogy egy gáz térfogata állandó nyomáson és hőmérsékleten egyenesen arányos a gázt alkotó részecskék számával. A törvény egy másik megfogalmazása szerint, ha 2 gázminta térfogata állandó hőmérsékleten és nyomáson azonos, akkor a 2 gázminta részecskéinek száma megegyezik. Az Avagadro-törvény egyenlete:

• V ∝ n

ahol n az egyes részecskék száma. Avagadro törvénye így is felírható:

• V/n = állandó

Avagadro törvénye nagyon intuitív. A józan ész szerint, ha minden más dolog egyenlő, minél több a gáz, annál több helyet foglal el. Másrészt, ha két gáznak ugyanolyan térfogata van, akkor ugyanannyi részecskének kell lennie.

Az ideális gáztörvény levezetése

Most, hogy megvan a gáz 4 alapvető állapotegyenlete, egyetlen kifejezéssé kombinálhatjuk őket, hogy megkapjuk az ideális gáztörvényt. A törvényeket így kombinálhatjuk:

• V ∝ T (Charles törvénye)
• V ∝ 1/P (Boyle törvénye)
• P ∝ T (Gay-Lussac törvénye)
• V ∝ n (Avagadro törvénye)

Ezeket a kifejezéseket kombinálva megkapjuk:

• V ∝ nT/P

Mivel a “∝” egyenes arányosságot jelent, a “∝” helyettesíthetjük egy “=”-mal, ha a jobb oldalra egy arányossági állandót adunk. Kísérletileg igazoltuk, hogy ez a konstans megegyezik az R értékével, így R hozzáadásával az egyenlethez a következőket kapjuk::

• V = nRT/P

Az egyenletet visszarendezve megkapjuk:

• PV = nRT

Az R állandó jelentősége

“A költők szerint a tudomány elveszi a csillagok – egyszerű gázatomok gömbjei – szépségét. Én is látom a csillagokat egy sivatagi éjszakán, és érzem őket. De vajon kevesebbet vagy többet látok?” – Richard P. Feynman

Szóval mi is pontosan az egyetemes gázállandó? Úgy tűnik, hogy az ideális gázegyenlet többi paramétere mind valamilyen fizikailag jelentős változónak felel meg; nyomás (P), térfogat (V), anyagmennyiség (n) és hőmérséklet (T). Az R azonban, úgy tűnik, nem ezt teszi. Mint sok más matematikai állandó esetében, az R kifejezésnek sincs egyértelmű megfeleltetése valamilyen fizikai mennyiségnek, entitásnak vagy folyamatnak. Ehelyett az R paraméter egy olyan kapcsolatot jelöl, amely néhány fizikai mennyiség, konkrétan egy gáz nyomása és térfogata, valamint a hőmérséklet és a gáz mennyisége között áll fenn. Pontosabban R egyenlő a PV/nT aránnyal.

A gázállandó pontos számértéke valójában a választott mértékegységektől függ. Az R numerikus értéke 8,3144598, ami az általunk használt konkrét mértékegységekből adódik. Az R ezen értéke a gázok fizikai nagyságának a szabványos SI-egységekben történő méréséből adódik. Az ideális gázegyenletben szereplő egyes paraméterek szabványos SI-egységei és azok szimbólumai a következők:

• Nyomás (P) – Newton (kg-m/s²)
• Térfogat (V) – méter (m³)
• Hőmérséklet (T) – Kelvin (K)
• Az anyag mennyisége (n) – mol (mol)

Ha megváltoztatjuk a mértékegységeket, akkor a gázállandó numerikus értéke is változni fog. Tegyük fel például, hogy úgy döntöttünk, hogy a gáz térfogatát méter helyett literben (L), a gáz nyomását pedig Newton helyett standard atmoszférában (atm) mérjük. Ezekkel a mértékegységekkel az egyetemes gázállandó számszerű értéke R = 0,082057 L-atm/mol-K lesz. Hasonlóképpen, mondjuk, úgy döntünk, hogy a nyomást higanymilliméterben (mmHg) mérjük. Ekkor a gázállandó számértéke R = 62,3636711 m³-mmHG/mol-K

Nem szabad elfelejteni, hogy a mértékegységek megváltoztatása nem jelenti azt, hogy maga a gázállandó is megváltozik. A gázállandó ugyanis csak az, egy állandó, tehát nem változik. A mértékegységek megváltoztatása csupán az állandó kifejezésére használt számértéket változtatja meg. Elméletileg lehetséges lenne olyan mértékegységrendszert választani, amely a gázállandó számértékét 1-re változtatja. Egy ilyen mértékegységrendszerben az ideális gázegyenletet egyszerűen úgy lehetne felírni, hogy PV = nT. Ne feledjük azonban, hogy ebben az egyenletben az egyetemes gázállandó nem tűnt el. A gázállandó még mindig jelen van, csak a számértéke R = 1. Magára az állandóra továbbra is szükség van ahhoz, hogy a használt mértékegységek megfelelő dimenzióelemzését megadjuk.

Az R paraméter lényegében egy olyan kapcsolatot képvisel, amely a gáz fizikai paraméterei és az általunk e fizikai paraméterek mérésére választott mértékegységek között áll fenn. Ezért a gázállandó felhasználható a gáz fizikai méréseinek különböző mértékegységrendszerekbe történő átszámítására.

Az ideális gáztörvény korlátai

Nem véletlenül nevezik “ideális” gáztörvénynek a “tényleges” gáztörvény helyett. Az ideális gázegyenlet érvényessége a gázok jellegére és viselkedésére vonatkozó néhány idealizált feltételezéstől függ. Először is, az ideális gáztörvény feltételezi, hogy a gázban lévő részecskék engedelmeskednek Newton mechanikai törvényeinek. Ez azt jelenti, hogy a gázrészecskék feltételezhetően az Isaac Newton által leírt erő- és gravitációs törvényeknek engedelmeskednek, és az elektrosztatikus molekulák közötti vonzások hatásait nem veszik figyelembe.

“A mai science fiction a holnapi tudományos tény”. – Isaac Asimov

Második feltételezés szerint a gáz molekulái elhanyagolhatóan kicsik a gáz teljes térfogatához képest. Ez a feltételezés lehetővé teszi a tudósok számára, hogy egyszerűsítsék a térfogatra vonatkozó számításaikat azáltal, hogy elhagyják azt a nem nulla térfogatot, amellyel a molekulák valójában rendelkeznek.

Harmadszor, a molekulák és a tartály falai közötti ütközéseket tökéletesen rugalmasnak tekintik – vagyis az ütközésekből nem veszik el mozgási energia. A valóságban a mozgási energia egy parányi részét a tartály falai elnyelik, és hő formájában elvezetik. Ez az apró energiamennyiség általában elhanyagolható, és figyelmen kívül hagyható.

Ezek a feltételezések miatt az “univerzális” gáztörvény technikailag nem univerzális, és csak egy bizonyos hatókörben pontos. Konkrétan, egy nagyon hideg gázmintában a molekulák közötti kölcsönhatások legyőzik a részecskék mozgási energiáját, ami miatt a gáz viselkedése eltér az ideális viselkedéstől. A részecskék viselkedésére a molekulák közötti erők miatt gyakorolt hatások figyelembevételére összetettebb állapotegyenleteket, például van der Waals-egyenleteket használnak.