Fizika

Példa 1. Sebességek kiszámítása rugalmas ütközés után

Számítsuk ki két tárgy sebességét rugalmas ütközés után, ha m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s és v2 = 0.

Stratégia és koncepció

Először is képzeljük el, mit jelentenek a kezdeti feltételek – egy kis tárgy ütközik egy nagyobb, kezdetben nyugalomban lévő tárgynak. Ez a helyzet valamivel egyszerűbb, mint az 1. ábrán látható helyzet, ahol mindkét tárgy kezdetben mozog. Két ismeretlent (a v′1 és v′2 végsebességeket) kell megtalálnunk. A két ismeretlen megtalálásához két független egyenletet kell használnunk. Mivel ez az ütközés rugalmas, használhatjuk a fenti két egyenletet. Mindkettő egyszerűsíthető azzal a ténnyel, hogy a 2. objektum kezdetben nyugalomban van, és így v2=0. Miután egyszerűsítettük ezeket az egyenleteket, algebrai úton kombináljuk őket, hogy megoldjuk az ismeretleneket.

Megoldás

Ezért a feladatért vegyük figyelembe, hogy v2=0, és használjuk az impulzusmegmaradást. Így,

p1 = p′1 + p′2 vagy m1v1=m1v′1+m2v′2.

A belső mozgási energia megmaradását felhasználva és azt, hogy v2=0,

\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2\\\

Az első egyenlet (impulzusegyenlet) megoldása v′2-re, megkapjuk

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)\\\.

Ezt a kifejezést a második egyenletbe (belső kinetikus energia egyenlet) behelyettesítve megszűnik a v′2 változó, így csak v′1 marad ismeretlenként (az algebrai feladatot az olvasónak hagyjuk). Minden kvadratikus egyenletnek két megoldása van; ebben a példában ezek a következők

v′1 = 4 . 00 m/s és v′1=-3,00 m/s.

Amint azt a korábbi fejezetekben a kvadratikus egyenletekkel való találkozáskor megjegyeztük, mindkét megoldás lehet, hogy értelmes, de lehet, hogy nem. Ebben az esetben az első megoldás megegyezik a kezdeti feltétellel. Az első megoldás tehát az ütközés előtti helyzetet képviseli, és elvetendő. A második megoldás (v′1=-3,00 m/s) negatív, ami azt jelenti, hogy az első tárgy hátrafelé pattan. Ha ezt a negatív v′1 értéket használjuk a második tárgy ütközés utáni sebességének meghatározására, akkor

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}{3.50\text{ kg}}\left\text{m/s}\\\

vagy

v′2=1.00 m/s.

Diszkusszió

A példa eredménye intuitíve ésszerű. Egy kis tárgy egy nagyobb, nyugalomban lévő tárgynak ütközik, és hátrafelé pattan. A nagyobbik előre lökődik, de kis sebességgel. (Ez olyan, mintha egy kompakt autó hátrafelé pattanna egy kezdetben nyugalomban lévő, teljes méretű terepjáróról.) Ellenőrzésképpen próbáld meg kiszámítani a belső mozgási energiát az ütközés előtt és után. Látni fogod, hogy a belső mozgási energia változatlanul 4,00 J. Ellenőrizd az ütközés előtti és utáni teljes lendületet is; azt fogod látni, hogy az is változatlan.

A lendület és a belső mozgási energia fent leírt megőrzési egyenletei felhasználhatók két tárgy bármely egydimenziós rugalmas ütközésének leírására. Ezek az egyenletek szükség esetén több objektumra is kiterjeszthetők.