Hogyan jó a bowlingeredményed?
.
.
“Minden rendben lesz, ha az elmédet használod a döntéseidhez, és csak a döntéseiddel törődsz.”” 2007 óta annak szentelem az életemet, hogy megosszam a játékelmélet és a matematika örömét. A MindYourDecisions már több mint 1000 ingyenes, reklámok nélküli cikket tartalmaz a közösség támogatásának köszönhetően! Segíts, és a Patreonon tett felajánlással korai hozzáférést kaphatsz a cikkekhez.
.
.
Általában 130 körüli pontszámot tekerek, de a minap hat strike-ot ütöttem, és 215-tel zártam.
Egy pillanatig örültem a magas pontszámnak, de aztán kritikusabban kezdtem el gondolkodni. Kíváncsi voltam, hogy statisztikai értelemben mennyire jó ez a pontszám.
Matematikus gondolkodású barátaimmal voltam, és a beszélgetésünk sok kérdést vetett fel.
Hányféle bowlingjáték lehetséges? Mennyi az átlagos bowling pontszám? Hányféleképpen lehet elérni az egyes bowling-pontszámokat (milyen a bowling-pontszámok eloszlása)?
Kutattam egy kicsit, és örömmel tapasztaltam, hogy az emberek már elvégezték a matematikát, hogy megválaszolják ezeket a kérdéseket. Íme néhány érdekes matematika.
A bowlingjáték matematikai leírása
A probléma első lépése, hogy a bowlingjátékot lefordítjuk matematikára. Az ötlet az, hogy kidolgozzunk egy rövidkézi jelölést a játék tömör leírására. A “Szörnyű-e az átlagos bowlingeredmény?” című cikkben kidolgozott jelölést fogom követni.”
Tekintsük a játék legelső frame-jét. Melyek a lehetséges kimenetelei a golyó megdobásának?
Az egyik lehetőség, hogy mind a 10 bábut leütöd egy strike-kal, és az első frame véget ér.
A másik lehetőség, hogy nem ütöd le mind a 10 bábut. Ekkor kapsz egy második esélyt, hogy eltaláld a maradék bábukat. Ha a maradék bábukat is leütöd, akkor az egy tartalék.
Matematikailag modellezhetjük a tekéket két számhalmazként: az első dobásnál leütött bábuk száma, és a második dobásnál leütött bábuk száma. Ezt felírhatjuk rendezett halmazként (első dobás, második dobás) = (x , y).
Ha 3 bábut ütsz le, majd 4-et, akkor a halmaz (3, 4). Vagy ha 3-at ütsz le, majd 7-et, hogy legyen egy tartalékod, akkor azt (3,7)
Az ütésnél mind a 10 bábut leütöd, és nem kapsz második dobást. Ezt a speciális esetet írhatjuk (10, 0)-nak, azzal a felfogással, hogy valójában soha nem volt második dobásod.
Ezzel a jelöléssel tömören leírhatjuk a lehetséges kimeneteleket az első keretben. A kimeneteleket két szám rendezett párjaként írhatjuk le, ahol mindkét szám nulla vagy pozitív, és a két szám összege legfeljebb 10 – mivel egy keretben legfeljebb 10 bábut lehet leütni.
Sorozatjelölésben ez így írható le
A játék első kilenc frame-je ugyanígy működik.
A játék tizedik frame-je kissé másképp működik. Ha az első dobásnál strike-ot, vagy a második dobásnál tartalékot kapsz, akkor a tizedik kockában egy bónusz harmadik dobást végezhetsz. Ezért a tizedik frame-et három számmal kell ábrázolni, speciális összefüggésekkel, attól függően, hogy strike vagy spare történik-e.
Négy különböző lehetőség van:
-Két dobás történik, 10-nél kevesebbet ütnek le (nincs harmadik dobás)
-A második dobás spare-t eredményez
-Az első dobás strike, de a második nem
-Két strike történik
A jelölés bonyolultabbá válik, de lényegében így írnád ki ezt a négy lehetőséget halmazjelölésben. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Ezután megszorozzuk a módok számát, hogy megkapjuk az összes játék számát.
Az A halmaz azoknak a módoknak a száma, amelyekkel két pozitív egész szám összege 10 vagy kevesebb. Ez egy klasszikus kombinatorikai probléma.
A megoldások számolásának van egy okos módja. A Google Bookson keresztül találtam egy levezetést arra, hogyan lehet megtalálni, hogy hányféleképpen adódik n nem negatív egész szám összege egy r egész számhoz:
Link a Principles and techniques in combinatorics 46. oldalára a Google Bookson
A képlet a következő: C(r + n -1, r)
A tekercshalmazunkban azt akarjuk megtalálni, hogy két szám (n = 2) hányféleképpen adódik 10 vagy kevesebb (r = 10, 9, 8, …, 0).
A képletet r minden egyes értékére ki akarjuk számolni, majd összegezni. Ez kevesebb munka, mint amennyire hangzik.
R = 10 esetén látjuk, hogy a képlet C(11, 10), ami 11. Ha r = 9, akkor a képlet C(10, 9) lesz, ami 10. A minta folytatódik az r kisebb értékeinél, így végül 11 + 10 + 9 + … 1.
Ez könnyen kiszámítható 66-nak. Így az első kilenc képkocka mindegyikére 66 út van.
Most a tizedik képkocka útjainak számát szeretnénk megtudni.
A folyamat ugyanaz, mint korábban. Most megkímélem magam a véres részletektől, és csak annyit mondok, hogy a válasz 241.
A számok összeszorzásával most már kiszámíthatjuk a tekejátékok teljes számát.
A tekejátékok teljes száma (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), ami körülbelül 5.7 x 1018
Ez meg sem közelíti a lehetséges sakkjátszmák számát, de még így is nagyon nagy szám.
Hogy perspektívába helyezzük, az egész világnak (6,7 x 109), minden nap játszva egy játékot, 2,3 millió év alatt kellene ennyi különböző játékot játszania.
Milyen az átlagos bowling pontszám?
Ez a rész matematikailag még bonyolultabbá válik.
A trükk az, hogy a készleteket pontszámokká alakítjuk át, a spare-re (a következő dobás bónusza) és a strike-ra (a következő két dobás bónusza) vonatkozó speciális szabályok alapján.
Azután az átlagot úgy lehet kiszámítani, hogy az összes lehetséges pontszámot összeadjuk a játékok számával, amit korábban már levezettünk.
A bowling átlagpontszámról kiderül, hogy körülbelül 80 (pontosabban inkább 79).7).
Ezt tekintse megnyugtatónak, hogy még egy olyan szerény pontszám, mint a 100 is átlagon felüli!
A levezetés részleteit az alábbi részlet ismerteti:
Link a Mean bowling score-hoz a Google Books-on
A cikk azért elavult, mert azzal zárul, hogy nyitva hagyja a bowling pontszámok teljes eloszlásának meghatározására vonatkozó kérdést. Ez valójában már megtörtént.
Milyen a bowling-pontszámok eloszlása?
A végső és igazán nehéz kérdés a bowling-eloszlás megtalálása.
Ez azt jelenti, hogy minden n pontszám esetén hány s(n) módon lehet elérni ezt a pontszámot.
Vannak esetek, amikor a válasz nyilvánvaló. Csak 1 módon lehet 0 pontot elérni, ahogyan csak 1 módon lehet 300 pontot elérni, vagy 299-et, vagy 298-at, és így tovább 291-ig.
A többi esetet bonyolultabb kitalálni. Az 1-es pontszám elérésének 20 módja van, a 290-es pontszám elérésének pedig 11 módja.
A teljes eloszlás kiszámításához ügyes számításokra van szükség. Az eredményeket ez a csodálatos weboldal írja le, amely a következő szép grafikát tartalmazza:
kép forrása: All about bowling scores
Figyeljük meg, hogy a bowling pontszámok erősen ferdék! A 120 feletti pontszámok kevésbé valószínűek, mivel ehhez az kell, hogy a játékos ésszerű számú spare-t és strike-ot érjen el.
Egy másik módja a gondolkodásnak az, hogy még egy szerény 115-ös pontszám is a 99. percentilisben van.
Memlékezz erre, amikor legközelebb bowlingozni mész. Tekintettel a lehetséges bowlingeredmények tartományára, az eredményed valószínűleg jobb, mint gondolnád!
(A percentilisek megváltoznak, ha az eloszlást a tényleges bowlingadatokra alapozzuk. Sajnos erre vonatkozóan nem találtam statisztikát.)