Skalár (matematika)
A vektortér skalárjaiSzerkesztés
A vektortér definíciója a vektorok halmaza, a skalárok halmaza és egy skalárszorzási művelet, amely egy k skalárt és egy vektort egy másik kv vektorba visz. Például egy koordinátatérben a skalárszorzás k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
adódik ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
. Egy (lineáris) függvénytérben kƒ az x ↦ k(ƒ(x)) függvény.
A skalárokat bármely mezőből vehetjük, beleértve a racionális, algebrai, valós és komplex számokat, valamint a véges mezőt.
Skalárok mint vektorkomponensekSzerkesztés
A lineáris algebra egyik alaptétele szerint minden vektortérnek van egy bázisa. Ebből következik, hogy minden K skalármező feletti vektortér izomorf egy olyan koordinátás vektortérrel, ahol a koordináták K elemei. Például minden n dimenziós valós vektortér izomorf az n dimenziós Rn valós térrel.
Skalárok normált vektortérbenSzerkesztés
Alternatívaként egy V vektortér felszerelhető egy normfüggvénnyel, amely minden V-ben lévő vektorhoz egy skalárt rendel ||v||. Definíció szerint, ha v-et megszorozzuk egy k skalárral, akkor a normája is megszorozódik |k|-val. Ha a ||v||t a v hosszaként értelmezzük, akkor ez a művelet úgy írható le, mint a v hosszának k-val való skálázása. A normával felszerelt vektorteret normált vektortereknek (vagy normált lineáris tereknek) nevezzük.
A normát általában V K skalármezőjének egyik elemeként definiáljuk, ami az utóbbit az előjel fogalmát támogató mezőkre korlátozza. Továbbá, ha V dimenziója 2 vagy több, akkor K-nak zártnak kell lennie a négyzetgyök, valamint a négy aritmetikai művelet alatt; így a Q racionális számok ki vannak zárva, de a surd mező elfogadható. Emiatt nem minden skalártermék-tér normált vektortér.
Skalárok modulokbanSzerkesztés
Ha azt a követelményt, hogy a skalárok halmazának egy mezőt kell alkotnia, enyhítjük úgy, hogy csak egy gyűrűt kell alkotnia (így például a skalárok osztásának nem kell definiáltnak lennie, vagy a skalároknak nem kell kommutatívnak lennie), az így kapott általánosabb algebrai struktúrát modulnak nevezzük.
A “skalárok” ebben az esetben bonyolult objektumok lehetnek. Ha például R egy gyűrű, akkor az Rn terméktér vektoraiból egy modul készíthető, amelynek skalárjai az R-ből származó bejegyzéseket tartalmazó n×n mátrixok. Egy másik példa a sokaságelméletből származik, ahol az érintőköteg szakaszainak tere egy modult alkot a sokaságon lévő valós függvények algebrája felett.
Skálázó transzformációSzerkesztés
A vektorterek és modulok skaláris szorzása a skálázásnak, egyfajta lineáris transzformációnak egy speciális esete.
Skalárműveletek (informatika)Szerkesztés
Műveletek, amelyek egyszerre egyetlen értékre vonatkoznak.
- Skalárprocesszor vs. vektorprocesszor vagy szuperskalárprocesszor
- Változó (informatika) néha “skalár”-nak is nevezik