The Distance Formula

= √(x – a)² + (y – b)²

As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be

	dist((2, -1), (-2, 2))	= √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)²
		= √(2 + 2)² + (-1 – 2)²
		= √(4)² + (-3)²
		= √16 + 9
		= √25
		= 5.

The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram

The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Ezzel a kis kiegészítéssel egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek 3 és 4 a lába. A Pitagorasz-tétel szerint a hipotenzus négyzete (hipotenzus)² = 3² + 4². Ami a hipotenzus hosszát 5-re adja, ami megegyezik a két pont közötti távolsággal a távolság képlet szerint. Ez természetesen mindig így van: az az egyenes szakasz, amelynek hosszát a végpontjai közötti távolságnak vesszük, mindig egy derékszögű háromszög hipotenuzájaként szolgál (valójában végtelen soknak. Mi csak a legmegfelelőbbet választottuk ki.)

Hogyan jó a (euklideszi) távolságképlet a valós távolságok mérésére? Ez a körülményektől függ. Síkban – mivel a Föld kerek, ez a Föld felszínének viszonylag kis területein belülre vonatkozik – elég jó, feltéve, hogy a távolság pontosan az, amit meg akarunk becsülni. Ha a kérdés az, hogy adott sebességgel haladva milyen gyorsan lehet eljutni egyik pontból a másikba, akkor az euklideszi képlet nem biztos, hogy nagyon hasznos a válasz megadásában. Egy városban ugyanis – hogy csak egy példát említsünk – gyakran lehetetlen egyenesen eljutni egyik pontból a másikba. Vannak épületek, forgalmas utcák, kerítések és miegymás, amiket figyelembe kell venni. Egy városban gyakran úgy találjuk, hogy a taxis távolság képlet

dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|

hasznosabb. A matematikában az euklideszi távolság a legalapvetőbb. Ahogy a Pitagorasz-tétel egyik mechanikus bizonyítása mutatja, ugyanez igaz a fizikában is, bár egyik tudományágban sem ez az egyetlen használt távolságképlet.

Taxi/várostávolság.

1. Kincskeresés négyzetrácsban
2. Kincskeresés a rácson kívülről
3. Tárgyak távol és közel
4. Földműves és felesége Kakast és tyúkot fogni
5. Távolság képlet
6. Mi a geometria?

|Contact||Front page||Contents||Geometry|